Question

已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過A（-2，0）、B（0，1）兩點，且對稱軸是y軸．經(jīng)過點C（0，2）的直線l與x軸平行，O為坐標(biāo)原點，P、Q為拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）上的兩動點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）以點P為圓心，PO為半徑的圓記為⊙P，判斷直線l與⊙P的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（3）設(shè)線段PQ=9，G是PQ的中點，求點G到直線l距離的最小值．

Answer 1

分析：（1）由拋物線的對稱軸為y軸可得：b=0，再把A（-2，0）、B（0，1）兩點坐標(biāo)分別代入函數(shù)的解析式求出a、c即可；
（2）因為P在拋物線上，所以設(shè)點P坐標(biāo)為（p，-

1

4

p²+1）如圖，過點P作PH⊥l，垂足為H，根據(jù)圓心到直線的距離和圓的半徑之間的大小關(guān)系可判斷直線l與⊙P的位置關(guān)系；
（3）圖，分別過點P、Q、G作l的垂線，垂足分別是D、E、F．連接EG并延長交DP的延長線于點K，易證得△EQG≌△KPG，由（2）知拋物線y=-

1

4

x²+1上任意一點到原點O的距離等于該點到直線l：y=2的距離，即EQ=OQ，DP=OP，所以只有當(dāng)點P、Q、O三點共線時，線段PQ的中點G到直線l的距離GF最小，進而求出點G到直線l距離的最小值．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c的對稱軸是y軸，
∴b=0，
∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點A（-2，0）、B（0，1）兩點，
∴c=1，a=-

1

4

，
∴所求拋物線的解析式為y=-

1

4

x²+1；   

（2）設(shè)點P坐標(biāo)為（p，-

1

4

p²+1），
如圖，過點P作PH⊥l，垂足為H，
∵PH=2-（-

1

4

p²+1）=

1

4

p²+1，
OP=

p2+(- 1 4 p2+1)2

=

1

4

p²+1，
∴OP=PH，
∴直線l與以點P為圓心，PO長為半徑的圓相切；     

（3）如圖，分別過點P、Q、G作l的垂線，垂足分別是D、E、F．連接EG并延長交DP的延長線于點K，
∵G是PQ的中點，
∴易證得△EQG≌△KPG，
∴EQ=PK，
由（2）知拋物線y=-

1

4

x²+1上任意一點到原點O的距離等于該點到直線l：y=2的距離，
即EQ=OQ，DP=OP，
∴FG=

1

2

DK=

1

2

（DP+PK）=

1

2

（DP+EQ）=

1

2

（OP+OQ），
∴只有當(dāng)點P、Q、O三點共線時，線段PQ的中點G到直線l的距離GF最小，
∵PQ=9，
∴GF≥4.5，即點G到直線l距離的最小值是4.5．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、直線與圓的位置關(guān)系、全等三角形等知識，軸對稱-最短路線問題，對學(xué)生的能力要求極高，難度很大．