Question

如圖1所示，在△ABC中，AB=AC=2，∠A=90°，O為BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)E在BA邊上自由移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)F在AC邊上自由移動(dòng)．
（1）點(diǎn)E，F(xiàn)的移動(dòng)過(guò)程中，△OEF是否能成為∠EOF=45°的等腰三角形？若能，請(qǐng)指出△OEF為等腰三角形時(shí)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)的位置；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）當(dāng)∠EOF=45°時(shí)，設(shè)BE=x，CF=y，求y與x之間的函數(shù)解析式，寫(xiě)出x的取值范圍；
（3）在滿足（2）中的條件時(shí)，若以O(shè)為圓心的圓與AB相切（如圖2），試探究直線EF與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（1）可分三種情況進(jìn)行討論：
①當(dāng)OE=EF時(shí)；②當(dāng)OF=EF時(shí)；③當(dāng)OE=OF時(shí)；
（2）本題可通過(guò)圖中的相似三角形BOE和CFO，可得出關(guān)于BO，OC，OE，OF的比例關(guān)系式，由于OB=OC=，由此可得出關(guān)于y，x的函數(shù)關(guān)系式．
（3）要證EF是否與圓O相切，那么就要證O到EF和AB的距離是否相等．
解答：解：（1）點(diǎn)E，F(xiàn)移動(dòng)的過(guò)程中，△OEF能成為∠EOF=45°的等腰三角形．
①當(dāng)OE=EF時(shí)，∠OEF是直角，F(xiàn)，A重合，OE是三角形ABC的中位線，E是AB中點(diǎn)．
②當(dāng)OF=EF時(shí)，∠OFE是直角，與①同理，E，A重合，F(xiàn)是AC中點(diǎn)
③當(dāng)OE=OF時(shí)，如果連接OA，那么OA必然平分∠BAC，
∴BO=CO，∠B=∠C=45°，EO=FO，
因?yàn)椤螮OF=45°，
∴∠BOE+∠COF=∠BOE+∠BEO=135°，
∴∠COF=∠BEO，
∴△BEO≌△COF，
∴BE=CO=BC，
∵AB=AC=2，∴BC=2，由此可得出BE=CF=．

（2）在△OEB和△FOC中，
∵∠EOB+∠FOC=135°，∠EOB+∠OEB=135°，
∴∠FOC=∠OEB．
又∵∠B=∠C，
∴△OEB∽△FOC．
∴=．
∵BE=x，CF=y，OB=OC==，
∴y=（1≤x≤2）．

（3）EF與⊙O相切．
∵△OEB∽△FOC，
∴=．
∴=．
即=．
又∵∠B=∠EOF=45°，
∴△BEO∽△OEF．
∴∠BEO=∠OEF．
∴點(diǎn)O到AB和EF的距離相等．
∵AB與⊙O相切，
∴點(diǎn)O到EF的距離等于⊙O的半徑．
∴EF與⊙O相切．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，切線的判定等知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)相似三角形得出角相等或邊成比例是解題的關(guān)鍵．