Question

己知：如圖．△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為直徑，∠CBA的平分線交AC干點(diǎn)F，交⊙O于點(diǎn)D，DE⊥AB于點(diǎn)E，且交AC于點(diǎn)P，連結(jié)AD．
（1）求證：∠DAC=∠DBA；
（2）求證：P處線段AF的中點(diǎn)；
（3）若⊙O的半徑為5，AF=，求tan∠ABF的值．

Answer 1

解：（1）∵BD平分∠CBA，
∴∠CBD=∠DBA，
∵∠DAC與∠CBD都是弧CD所對的圓周角，
∴∠DAC=∠CBD，
∴∠DAC=∠DBA．

（2）∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，
又∵DE⊥AB于點(diǎn)E，
∴∠DEB=90°，
∴∠ADE+∠EDB=∠ABD+∠EDB=90°，
∴∠ADE=∠ABD=∠DAP，
∴PD=PA，
又∵∠DFA+∠DAC=∠ADE+∠PDF=90°且∠ADE=∠DAP，
∴∠PDF=∠PFD，
∴PD=PF，
∴PA=PF，即P是線段AF的中點(diǎn)．

（3）∵∠DAF=∠DBA，∠ADB=∠FDA=90°，
∴△FDA∽△ADB，
∴===，
∴tan∠ABF=tan∠DAF==．
分析：（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠CBD=∠DBA，由圓周角定理可得∠DAC=∠CBD，繼而可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)等角的余角相等，得出∠ADE∠ABD，結(jié)合（1）可得PA=PD，再由等角的余角相等得出∠PDF=∠PFD，繼而得出PD=PF，然后可得結(jié)論；
（3）證明△FDA∽△ADB，利用對應(yīng)邊成比例，可得tan∠DAF，再由∠DAF=∠ABF，可得出答案．
點(diǎn)評：本題考查了圓的綜合，涉及了圓周角定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的對應(yīng)邊成比例，同弧所對的圓周角相等，注意數(shù)形結(jié)合思想運(yùn)用．