Question

如圖，已知正方形ABCD的邊長是2，E是DC上一點(diǎn)，△ADE經(jīng)順時針旋轉(zhuǎn)后與△ABF重合．
（1）指出旋轉(zhuǎn)的中心和旋轉(zhuǎn)的角度；
（2）如果連結(jié)EF，那么△AEF是怎樣的三角形？請說明理由．
（3）已知點(diǎn)G在BC上，且∠GAE=45°．
①試說明GE=DE+BG．
②若E是DC的中點(diǎn)，求BG的長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義，直接得出旋轉(zhuǎn)的中心和旋轉(zhuǎn)的角度；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出△ADE≌△ABF，進(jìn)而得出AE=AF，求出△AEF是等腰直角三角形；
（3）①首先得出AG是線段EF的垂直平分線，進(jìn)而得出DE+GB=BF+BG=GF，即可得出答案；
②首先設(shè)GB=x，則GC=2-x，GE=1+x．在Rt△ECG中，∠C=90°，由勾股定理，得1+（2-x）²=（1+x）²，求出x即可．

解答：解：（1）旋轉(zhuǎn)的中心是點(diǎn)A，旋轉(zhuǎn)的角度是90°．

（2）△AEF是等腰直角三角形．
理由：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DAB=90°．
∵△ADE繞著點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°后與△ABF重合，
∴△ADE≌△ABF，
∴AE=AF．
又∵∠EAF=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形．

（3）①∵∠GAE=45°，∠EAF=90°，
∴AG是∠EAF的平分線，
又∵AF=AE，
∴AG是線段EF的垂直平分線，
∴GE=GF．
∵DE=BF，
∴DE+GB=BF+BG=GF．
∴GE=DE+BG．
②∵E是DC的中點(diǎn)，
∴DE=EC=FB=1．
設(shè)GB=x，則GC=2-x，GE=1+x．
在Rt△ECG中，∠C=90°，由勾股定理，得
1+（2-x）²=（1+x）²．
解這個方程，得x=

2

3

，即BG的長為

2

3

．
（注：用其它方法求解參照以上標(biāo)準(zhǔn)給分．）

點(diǎn)評：此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及勾股定理和線段垂直平分線的性質(zhì)等知識，熟練利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出△ADE≌△ABF是解題關(guān)鍵．