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(2010•本溪)如圖,OABC是一張放在平面直角坐標系中的矩形紙片,O為原點,點A在x軸的正半軸上,點C在y軸的正半軸上,OA=5,OC=3.
(1)在AB邊上取一點D,將紙片沿OD翻折,使點A落在BC邊上的點E處,求點D,E的坐標;
(2)若過點D,E的拋物線與x軸相交于點F(-5,0),求拋物線的解析式和對稱軸方程;
(3)若(2)中的拋物線與y軸交于點H,在拋物線上是否存在點P,使△PFH的內心在坐標軸上?若存在,求出點P的坐標,若不存在,請說明理由.
(4)若(2)中的拋物線與y軸相交于點H,點Q在線段OD上移動,作直線HQ,當點Q移動到什么位置時,O,D兩點到直線HQ的距離之和最大?請直接寫出此時點Q的坐標及直線HQ的解析式.

【答案】分析:(1)本題可根據折疊的性質來求解.根據折疊的性質可得出OE=OA,可在直角三角形OCE中,用勾股定理求出CE的長,也就求出了E點的坐標.在直角三角形DBE中,還是根據折疊的性質,DA=DE,DB=3-DE,而BE可根據OA和CE的長求出,因此根據勾股定理即可求出DE即AD的長,也就得出了D點的坐標.
(2)根據D、E、F的坐標,用待定系數法即可求出拋物線的解析式,進而可求出其對稱軸的方程.
(3)當內心在y軸上時,根據三角形內心的性質可知:y軸正好是∠PHF的角平分線,那么∠PHO=∠FHO=45°,設PH與x軸的交點為M,易知三角形OMH為等腰直角三角形,由此可求出M的坐標,進而可求出直線PH的解析式,聯(lián)立拋物線的解析式即可求出P點的坐標.
當內心在x軸上時,解法同上.
(4)根據“直線外一點與直線上各點連接的所有線段中,垂線段最短”可知,當直線HQ⊥OD時,O,D兩點到直線HQ的距離之和最大,此時點Q為垂足.利用三角形相似可求得點Q的坐標.
解答:解:(1)依題意,OE=OA=5,
在Rt△OCE中,CE2=OE2-OC2=52-32=42
∴CE=4.
設點D的坐標為(5,y),
則AD=DE=y,BD=3-y,BE=5-4=1.
在Rt△BED中,ED2=EB2+BD2,
∴y2=12+(3-y)2,
解得y=
∴點D,E的坐標分別為(5,),(4,3).

(2)設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c,
∵拋物線過點D(5,),E(4,3),F(xiàn)(-5,0),

解得,
∴拋物線的解析式為y=-x2+x+5.
對稱軸的方程為
∴對稱軸的方程為x=

(3)存在這樣的P點,使△PFH的內心在坐標軸上.
①若△PFH的內心在y軸上,設直線PH與x軸相交于點M,
∵∠FHO=∠MHO,HO⊥FM,
∴FO=MO,
∴點M的坐標為(5,0).
∴直線PH的解析式為y=-x+5.
解方程組,

∴點P的坐標為(7,-2).
②若△PFH的內心在x軸上,設直線PF與y軸相交于點N,
∵∠HFO=∠NFO,F(xiàn)O⊥HN,
∴HO=NO,
∴點N的坐標為(0,-5),
∴直線FN的解析式為y=-x-5.
解方程組
,

∴點P的坐標為(12,-17).
綜合①②可知點P的坐標為(7,-2)或(12,-17).

(4)(附加題)點Q的坐標為(,),
直線HQ的解析式為y=-3x+5.
點評:本題為二次函數綜合題,綜合考查了矩形的性質、圖形的折疊變換、三角形的內心等重要知識.難度較大.
練習冊系列答案
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(1)在AB邊上取一點D,將紙片沿OD翻折,使點A落在BC邊上的點E處,求點D,E的坐標;
(2)若過點D,E的拋物線與x軸相交于點F(-5,0),求拋物線的解析式和對稱軸方程;
(3)若(2)中的拋物線與y軸交于點H,在拋物線上是否存在點P,使△PFH的內心在坐標軸上?若存在,求出點P的坐標,若不存在,請說明理由.
(4)若(2)中的拋物線與y軸相交于點H,點Q在線段OD上移動,作直線HQ,當點Q移動到什么位置時,O,D兩點到直線HQ的距離之和最大?請直接寫出此時點Q的坐標及直線HQ的解析式.

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(4)若(2)中的拋物線與y軸相交于點H,點Q在線段OD上移動,作直線HQ,當點Q移動到什么位置時,O,D兩點到直線HQ的距離之和最大?請直接寫出此時點Q的坐標及直線HQ的解析式.

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科目:初中數學 來源:2010年遼寧省本溪市中考數學試卷(解析版) 題型:解答題

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科目:初中數學 來源:2010年遼寧省本溪市初中畢業(yè)學業(yè)考試數學試卷(解析版) 題型:解答題

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