Question

探究：在圖甲中，已知點(diǎn)E、F分別為線段AB、CD的中點(diǎn)．
①若A（-1，0），B（3，0），則E點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_______；
②若C（-2，+2），D（-2，-1），點(diǎn)則F點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_______．
歸納：無(wú)論線段AB處于直角坐標(biāo)系中的哪個(gè)位置，當(dāng)其端點(diǎn)為A（a，b），B（c，d），AB中點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y）時(shí)，x=________，y=________．（用含a，b，c，d的代數(shù)式表示，不必證明）
運(yùn)用：在圖乙中，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交點(diǎn)為A（-1，-3），B（3，1）．
①此一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式分別為_(kāi)_______；
②若以A，O，B，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)利用上面的結(jié)論求出頂點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

（1，0）    （-2，）            y=x-2，y=
分析：探究：①利用圖形可確定E點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）；②利用圖形可確定線段CD的中點(diǎn)F的坐標(biāo)；
運(yùn)用利用線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解；
歸納：①運(yùn)用待定系數(shù)法求兩函數(shù)的解析式；
②分類討論：當(dāng)以AB為對(duì)角線時(shí)，四邊形OAPB為平行四邊形，對(duì)角線交與點(diǎn)Q，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到Q為AB的中點(diǎn)，Q點(diǎn)為PO的中點(diǎn)，先利用歸納中的結(jié)論由A、B坐標(biāo)確定Q點(diǎn)坐標(biāo)，然后由點(diǎn)O與Q點(diǎn)坐標(biāo)確定P點(diǎn)坐標(biāo)；同理可確定當(dāng)OB和OA為對(duì)角線時(shí)對(duì)應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo)．
解答：探究：①點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為=1，縱坐標(biāo)為，則E點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）；
②F點(diǎn)的橫坐標(biāo)為=-2，縱坐標(biāo)為=，則F點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，）；
歸納：x=，y=；
運(yùn)用：①設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，把A（-1，-3），B（3，1）代入得，解得，
所以直線AB的解析式為y=x-2；
設(shè)反比例函數(shù)解析式為y=，
把A（-1，-3）代入得t=-1×（-3）=3，
所以反比例函數(shù)解析式為y=；
②當(dāng)以AB為對(duì)角線時(shí)，四邊形OAPB為平行四邊形，對(duì)角線交與點(diǎn)Q，
∴Q為AB的中點(diǎn)，Q點(diǎn)為PO的中點(diǎn)，
∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為（，），即Q（1，-1），
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（m，n），則=1，=-1，解得m=2，n=-2，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-2）；
同理可得當(dāng)以O(shè)B為對(duì)角線時(shí)，四邊形OABP為平行四邊形，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（4，4）；當(dāng)以O(shè)A為對(duì)角線時(shí)，四邊形OPAB為平行四邊形，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，-4），
∴滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-2）或（4，4）或（-4，-4）．
故答案為（1，0）；（-2，）；，；y=x-2，y=．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、平時(shí)四邊形的判定與性質(zhì)．