等邊△OAB在平面直角坐標(biāo)系中(圖1),已知點A(2,0),將△OAB繞點O順時針方向旋轉(zhuǎn)a°(0<a<360)得△OA1B1
(1)直接寫出點B的坐標(biāo);
(2)當(dāng)a=30°時,求△OAB與△OA1B1重合部分(圖2中的陰影部分)的面積;
(3)當(dāng)A1,B1的縱坐標(biāo)相同時,求a的值;
(4)當(dāng)60<a<180時,設(shè)直線A1B1與BA相交于點P,PA、PB1的長是方程x2-mx+m=0的兩個實數(shù)根,求此時點P的坐標(biāo).
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分析:(1)根據(jù)A點坐標(biāo)可知,正三角形的邊長是2,過B作x軸的垂線,根據(jù)三角函數(shù)即可求得;
(2)陰影部分的面積=S△OAN-S△OAM,而這兩個三角形的面積很容易得到;
(3)當(dāng)A1,B1的縱坐標(biāo)相同時,A1B1∥x軸,a1=120°或a2=300°
(4)可以證明PA=PB1,即方程x2-mx+m=0的兩個相等實數(shù)根,根據(jù)根的判別式即可求得m的值,從而求得PA,PB1的長,得到P的坐標(biāo).
解答:解:(1)B的坐標(biāo)是(1,
3
);(1分)

(2)圖2中的陰影部分的面積=S△OAN-S△OAM
=
1
2
×1×
3
-
1
2
×(2-
3
)
×(2-
3
)
3

=6-3
3
;(3分)

(3)當(dāng)A1,B1的縱坐標(biāo)相同時,A1B1∥x軸,
∴a1=120°或a2=300°;(5分)

(4)連接AB1,
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∵OA=OB1=2,
∴∠OAB1=∠0B1A
∴∠PB1G=∠B1AH,
又∵∠PAB1=180°-60°-∠B1AH=120°-∠B1AH
∠PB1A=180°-60°-∠AB1G=120°-∠AB1G
∴∠PAB1=∠PB1A,
∴PA=PB1(6分)
∴方程x2-mx+m=0的兩個相等實數(shù)根,(7分)
△=(-m)2-4m=0
m1=0(舍去),m2=4(8分)
方程為:x2-4x+4=0,
解得:x1=x2=2,
∴PA=PB1=2(9分)
在直角△APM中,PM=AP•sin60°=2×
3
2
=
3
,
AM=AP•cos60°=1,則OM=OA-AM=3-1=2.
∴P點坐標(biāo)為(3,-
3
)(10分)
點評:本題綜合運用了平行于x軸的點的坐標(biāo)的關(guān)系,以及一元二次方程的根的判別式,題目難度較大.
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(1)直接寫出點B的坐標(biāo);
(2)當(dāng)a=30°時,求△OAB與△OA1B1重合部分(圖2中的陰影部分)的面積;
(3)當(dāng)A1,B1的縱坐標(biāo)相同時,求a的值;
(4)當(dāng)60<a<180時,設(shè)直線A1B1與BA相交于點P,PA、PB1的長是方程x2-mx+m=0的兩個實數(shù)根,求此時點P的坐標(biāo).

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(1)直接寫出點B的坐標(biāo);
(2)當(dāng)a=30°時,求△OAB與△OA1B1重合部分(圖2中的陰影部分)的面積;
(3)當(dāng)A1,B1的縱坐標(biāo)相同時,求a的值;
(4)當(dāng)60<a<180時,設(shè)直線A1B1與BA相交于點P,PA、PB1的長是方程x2-mx+m=0的兩個實數(shù)根,求此時點P的坐標(biāo).

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