Question

如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E是線段AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（E與A、D不重合），G、F、H分別是BE、BC、CE的中點(diǎn)．
（1）試探索四邊形EGFH的形狀，并說明理由；
（2）當(dāng)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形EGFH是菱形？并加以證明．

Answer 1

解：（1）四邊形EGFH為平行四邊形．
∵G、F、H分別是BE、BC、CE的中點(diǎn)，
∴FG、FH為△EBC的中位線，
∴FG∥EH，F(xiàn)H∥GE，
∴四邊形EGFH為平行四邊形．

（2）當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AD的中點(diǎn)時(shí)，平行四邊形EGFH為菱形．
∵當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AD的中點(diǎn)時(shí)，AE=ED，
又∠A=∠D，AB=CD，
∴△ABE≌△DCE（SAS）
∴BE=CE，
∴EG=EH，
故平行四邊形EGFH為菱形．
分析：（1）根據(jù)三角形中位線定理，F(xiàn)G∥EH，F(xiàn)H∥GE，所以是平行四邊形；
（2）根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，所以只要EG=EH就可以，即BE=CE，所以點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角形中位線定理和菱形的定義，有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形需要熟練掌握．