Question

在Rt△ABO中，∠ABO=30°，BO=4，分別以O(shè)A、OB邊所在的直線建立平面直角坐標(biāo)系，D為x軸正半軸上一點(diǎn)，以O(shè)D為一邊在第一象限內(nèi)作等邊△ODE.

（Ⅰ）如圖①， 當(dāng)E點(diǎn)恰好落在線段AB上，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

    

（Ⅱ）在（Ⅰ）問的條件下，將△ODE在線段OB上向右平移（如圖②），圖中是否存在一條與線段始終相等的線段？如果存在，請(qǐng)指出這條線段，并加以證明；如果不存在，請(qǐng)說明理由.

（Ⅲ）若點(diǎn)D從原點(diǎn)出發(fā)沿x軸的正方向移動(dòng)，設(shè)點(diǎn)D到原點(diǎn)的距離為x，△ODE與△AOB重疊部分面積為y，請(qǐng)直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) E（1，）.      

(Ⅱ) 將△ODE在線段OB上向右平移時(shí)，始終有線段EF=.  

由(Ⅰ)知=2，得+ BD=2，

     ∵∠=60°=2∠B=∠B+∠BFD，∴∠BFD=∠B，∴DF = BD.

       又∵DF+ EF=2，∴EF=.  

(Ⅲ)①如圖a，當(dāng)0≤x≤2時(shí)，y==

②如圖b，當(dāng)2＜x＜4時(shí)，y=－=+2－2.

③如圖c，當(dāng)x≥4時(shí)，y==2.  

 

【解析】（1）由題意作輔助線，作EH⊥OB于點(diǎn)H，由BO=4，求得OE，然后求出OH，EH，從而得出點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（2）假設(shè)存在，由OO′=4-2-DB，而DF=DB，從而得到OO′=EF；

（3）根據(jù)題意分三種情況寫出解析式即可．