如圖,已知四邊形ABCD是矩形,且MO=MD=4,MC=3.
(1)求直線BM的解析式;
(2)求過A、M、B三點的拋物線的解析式;
(3)在(2)中的拋物線上是否存在點P,使△PMB構成以BM為直角邊的直角三角形?若沒有,請說明理由;若有,則求出一個符合條件的P點的坐標.

解:(1)∵MO=MD=4,MC=3,
∴M、A、B的坐標分別為(0,4),(-4,0),(3,0)
設BM的解析式為y=kx+b;
,
∴BM的解析式為y=-x+4.

(2)方法一:
設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c

解得a=b=-,c=4
∴y=-x2-x+4
方法二:
設拋物線的解析式為y=a(x+4)(x-3)
將M(0,4)的坐標代入得a=-
∴y=-(x+4)(x-3)=-x2-x+4

(3)設拋物線上存在點P,使△PMB構成直角三角形.
①過M作MB的垂線與拋物線交于P,過P作PH⊥DC交于H,
∴∠PMB=90°,
∴∠PMH=∠MBC,
∴△MPH∽△BMC,
∴PH:HM=CM:CB=3:4
設HM=4a(a>0),則PH=3a
∴P點的坐標為(-4a,4-3a)
將P點的坐標代入y=-x2-x+4得:
4-3a=-(-4a)2-×(-4a)+4
解得a=0(舍出),,
∴P點的坐標為(
②或者,拋物線上存在點P,使△PMB構成直角三角形.
過M作MB的垂線與拋物線交于P,設P的坐標為(x0,y0),
由∠PMB=90°,∠PMD=∠MBC,
過P作PH⊥DC交于H,則MH=-x0,PH=4-y0
∴由tan∠PMD=tan∠MBC
,

,x0=0(舍出)
,
∴P點的坐標為(
類似的,如果過B作BM的垂線與拋物線交于點P,
設P的坐標為(x0,y0),
同樣可求得,
=,x0=3(舍出)
這時P的坐標為().
分析:(1)(2)根據(jù)MO=MD=4,MC=3就可以求出A、M、B三點的作坐標,根據(jù)待定系數(shù)法就可以求出直線BM的解析式與拋物線的解析式.
(3)過M、B作MB的垂線,它與拋物線的交點即為P點,因而符合條件的P點是存在的.當∠PMB=90°時,過P作PH⊥DC交于H,則
易證△MPH∽△BMC,得到PH:HM=CM:CB=3:4,因而可以設HM=4a(a>0),則PH=3a,則P點的坐標為(-4a,4-3a).
將P點的坐標代入y=-x2-x+4就可以求出a的值,進而求出P點的坐標.
點評:本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式.是函數(shù)與相似三角形相結合的綜合題.
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BDC
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BF
=
AD
,EM切⊙O于M.
(1)求證:△ADC∽△EBA;
(2)求證:AC2=
1
2
BC•CE;
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