Question

如圖1所示，直角梯形OABC的頂點(diǎn)A、C分別在y軸正半軸與x軸負(fù)半軸上．過(guò)點(diǎn)B、C作直線l．將直線l平移，平移后的直線l與x軸交于點(diǎn)D，與y軸交于點(diǎn)E．
（1）將直線l向右平移，設(shè)平移距離CD為t（t≥0），直角梯形OABC被直線l掃過(guò)的面積（圖中陰影部分）為s，s關(guān)于t的函數(shù)圖象如圖2所示，OM為線段，MN為拋物線的一部分，NQ為射線，N點(diǎn)橫坐標(biāo)為4．
①求梯形上底AB的長(zhǎng)及直角梯形OABC的面積，
②當(dāng)2＜t＜4時(shí)，求S關(guān)于t的函數(shù)解析式；
（2）在第（1）題的條件下，當(dāng)直線l向左或向右平移時(shí)（包括l與直線BC重合），在直線AB上是否存在點(diǎn)P，使△PDE為等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）先要看分段函數(shù)所表示的意思是什么，當(dāng)0＜x≤2時(shí)，E在B和A之間掃過(guò)的梯形的部分是個(gè)平行四邊形，當(dāng)2＜x＜4時(shí)，E在A點(diǎn)右側(cè)，且D在O點(diǎn)左側(cè)時(shí)，掃過(guò)的梯形的部分是個(gè)五邊形，當(dāng)x≥4時(shí)，掃過(guò)的梯形的面積就是整個(gè)梯形的面積．
①由上面的分析可看出當(dāng)t=2時(shí)，就是E、A重合的時(shí)候，那么AB=2，可根據(jù)此時(shí)梯形的平行四邊形的面積為8求出OA的長(zhǎng)；而當(dāng)t=4時(shí)，就是D于O重合的部分，因此OC=4，那么梯形的面積就可以求出來(lái)了．
②根據(jù)上面的分析當(dāng)2＜t＜4時(shí)，直角梯形OABC被直線l掃過(guò)的面積=直角梯形OABC面積一直角三角形DOE面積，然后可用t表示出OD、OE的長(zhǎng)，然后根據(jù)得出的等量關(guān)系求出S、t的函數(shù)關(guān)系式；
（2）要分三種情況進(jìn)行討論：
①以點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)，作PP₁⊥x軸

在Rt△ODE中，OE=2OD，設(shè)OD=b，OE=2b．由于Rt△ODE≌Rt△P₁PD，（圖示陰影）
因此b=4，2b=8，在上面二圖中分別可得到P點(diǎn)的生標(biāo)為P（-12，4）、P（-4，4）
E點(diǎn)在0點(diǎn)與A點(diǎn)之間不可能；
②以點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)

同理在②二圖中分別可得P點(diǎn)的生標(biāo)為P（-

8

3

，4）、P（8，4）E點(diǎn)在0點(diǎn)下方不可能．
③以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)

同理在③二圖中分別可得P點(diǎn)的生標(biāo)為P（-4，4）（與①情形二重合舍去）、P（4，4），
E點(diǎn)在A點(diǎn)下方不可能．
綜上可得P點(diǎn)的生標(biāo)共5個(gè)解，分別為P（-12，4）、P（-4，4）、P（-

8

3

，4）、
P（8，4）、P（4，4）．

解答：解：（1）①AB=2
OA=

8

2

=4，OC=4，S_梯形OABC=12
②當(dāng)2＜t＜4時(shí)，
直角梯形OABC被直線l掃過(guò)的面積=直角梯形OABC面積一直角三角形DOE面積，
∵AB∥CD，OA=4，
∴

AE

OE

=

AF

OD

=

t-2

4-t

，
∴OE=8-2t
S=12-

1

2

（4-t）×（8-2t）=-t²+8t-4；

（2）存在
P₁（-12，4），P₂（-4，4），P₃（-

8

3

，4），P₄（4，4），P₅（8，4）
下面提供參考解法二：
以直角進(jìn)行分類進(jìn)行討論（分三類）：
第一類如上分析中①所示圖∠P為直角：
設(shè)直線DE：y=2x+2b，此時(shí)D（-b，0），E（0，2b）的中點(diǎn)坐標(biāo)為(-

b

2

，b)，
直線DE的中垂線方程：y-b=-

1

2

(x+

b

2

)，
令y=4得P(

3b

2

-8，4)．
由已知可得

2

PE=DE即

2

×

( 3 2 b-8)2+(4-2b)2

=

b2+4b2

化簡(jiǎn)得3b²-32b+64=0
解得b₁=8，b₂=

8

3

將之代入P（

3b

2

-8，4）
∴P₁=（4，4）P₂（-4，4）；
第二類如上分析中②所示圖∠E為直角：
設(shè)直線DE：y=2x+2b，此時(shí)D（-b，o），E（O，2b），
直線PE的方程：y=-

1

2

x+2b，
令y=4得P（4b-8，4）．
由已知可得PE=DE即

(4b-8)2+(4-2b)2

=

b2+4b2

化簡(jiǎn)得b²=（2b-8）²
解之得，b₁=4，b₂=

4

3

將之代入P（4b-8，4）
∴P₃=（8，4）P4(-

8

3

，4)
第三類如上分析中③所示圖∠D為直角：
設(shè)直線DE：y=2x+2b，此時(shí)D（-b，o），E（O，2b），
直線PD的方程：y=-

1

2

（x+b），
令y=4得P（-b-8，4）．
由已知可得PD=DE即

82+42

=

b2+4b2

解得b₁=4，b₂=-4將之代入P（-b-8，4）
∴P₅=（-12，4）、P₆（-4，4）、[P₆（-4，4）與P₂重合舍去]．
綜上可得P點(diǎn)的坐標(biāo)共5個(gè)解，分別為P（-12，4）、P（-4，4）、P（-

8

3

，4）、
P（8，4）、P（4，4）．
事實(shí)上，我們可以得到更一般的結(jié)論：
如果得出AB=a、OC=b、OA=h、設(shè)k=

b-a

h

，則P點(diǎn)的情形如下：

點(diǎn)評(píng)：本題結(jié)合梯形，平行四邊形等知識(shí)考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，要注意的是（2）中要分直角頂點(diǎn)的不同來(lái)進(jìn)行分類討論，不要漏解．