【題目】如圖,點(diǎn),點(diǎn)是射線上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)重合),過(guò)點(diǎn)作直線的平行線交軸于,過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交直線于,連結(jié),,.
(1)當(dāng)點(diǎn)在線段上且時(shí),__________.
(2)當(dāng)與相似時(shí),點(diǎn)的橫坐標(biāo)為____________.
【答案】(1);(2)或
【解析】
(1)設(shè)BC與OP交于點(diǎn)D,先證出四邊形PBOC為平行四邊形,設(shè)BP=OC=OP=x,根據(jù)勾股定理求出CP和AP,然后根據(jù)AP+OP=1即可求出x,再根據(jù)勾股定理求出AB和BC即可求出結(jié)論;
(2)根據(jù)點(diǎn)P的位置分類討論,分別畫(huà)出對(duì)應(yīng)的圖形,分別根據(jù)勾股定理求出AB、BC和AC,然后根據(jù)相似的性質(zhì)可得三角形ABC為等腰直角三角形,從而求出結(jié)論.
解:(1)設(shè)BC與OP交于點(diǎn)D
∵CO⊥x軸,BP⊥x軸
∴CO∥BP
∵CP∥OB
∴四邊形PBOC為平行四邊形
∴BP=OC,BC=2CD,OD=OP
∵點(diǎn)B在y=x上
∴BP=OP
設(shè)BP=OC=OP=x
∴CP=x
∴AP= CP=x
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1,0)
∴AP+OP=1
即x+x=1
解得:x=-1
∴BP=OC=OP=-1,AP=2-,OD=
根據(jù)勾股定理可得AB=
CD==
∴BC=
∴
故答案為:.
(2)①當(dāng)點(diǎn)P在線段OA上時(shí),
由(1)可知,△OPC為等腰直角三角形,設(shè)BP=OC=OP=x(0<x<1),則AP=1-x
根據(jù)勾股定理:AC=,
AB=,
BC=2CD=2=2=
∵1-x<1,
∴AB<AC
若與相似時(shí),
∴△ABC為等腰直角三角形,其中AB和BC為直角邊
即
解得:x1=,x2=-1(不符合x的取值范圍,故舍去)
即OP=
∵點(diǎn)P在OA上
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為;
當(dāng)點(diǎn)P在AO的延長(zhǎng)線上時(shí),
同理可證:四邊形OCPB為平行四邊形,△OPC為等腰直角三角形,設(shè)BP=OC=OP=y(y>0),則AP=1+y
根據(jù)勾股定理:AC=,
AB=,
BC=2CD=2=2=
∵1+y>1,
∴AB>AC
若與相似時(shí),
∴△ABC為等腰直角三角形,其中AC和BC為直角邊
即
解得:y1=,y2=(不符合y的取值范圍,故舍去)
即OP=
∵點(diǎn)P在AO延長(zhǎng)線上
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為.
綜上:點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為或.
故答案為:或.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在中,.
(1)如圖1,若將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段連接則的面積;
(2)如圖2,點(diǎn)為延長(zhǎng)線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接以為直角項(xiàng)點(diǎn),為直角邊作等腰直角連接,求證:;
(3)如圖3,點(diǎn)為線段上兩點(diǎn),且點(diǎn)是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),是否存在點(diǎn)使的值最小,若存在,求出最小值;若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】問(wèn)題背景:我們學(xué)習(xí)等邊三角形時(shí)得到直角三角形的一個(gè)性質(zhì):在直角三角形中,如果一個(gè)銳角等于30°,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.即:如圖1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,則:AC=AB.
探究結(jié)論:小明同學(xué)對(duì)以上結(jié)論作了進(jìn)一步研究.
(1)如圖1,連接AB邊上中線CE,由于CE=AB,易得結(jié)論:①△ACE為等邊三角形;②BE與CE之間的數(shù)量關(guān)系為 .
(2)如圖2,點(diǎn)D是邊CB上任意一點(diǎn),連接AD,作等邊△ADE,且點(diǎn)E在∠ACB的內(nèi)部,連接BE.試探究線段BE與DE之間的數(shù)量關(guān)系,寫(xiě)出你的猜想并加以證明.
(3)當(dāng)點(diǎn)D為邊CB延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)時(shí),在(2)條件的基礎(chǔ)上,線段BE與DE之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)直接寫(xiě)出你的結(jié)論 .
拓展應(yīng)用:如圖3,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣,1),點(diǎn)B是x軸正半軸上的一動(dòng)點(diǎn),以AB為邊作等邊△ABC,當(dāng)C點(diǎn)在第一象限內(nèi),且B(2,0)時(shí),求C點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】隨著科技的進(jìn)步和網(wǎng)絡(luò)資源的豐富,在線學(xué)習(xí)已經(jīng)成為更多人的自主學(xué)習(xí)選擇.某校計(jì)劃為學(xué)生提供以下四類在線學(xué)習(xí)方式:在線閱讀、在線聽(tīng)課、在線答題和在線討論.為了解學(xué)生需求,該校隨機(jī)對(duì)本校部分學(xué)生進(jìn)行了“你對(duì)哪類在線學(xué)習(xí)方式最感興趣”的調(diào)查,并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.
(1)求本次調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù),并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(2)求扇形統(tǒng)計(jì)圖中“在線討論”對(duì)應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù);
(3)該校共有學(xué)生2700人,請(qǐng)你估計(jì)該校對(duì)在線閱讀最感興趣的學(xué)生人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】新能源汽車環(huán)保節(jié)能,越來(lái)越受到消費(fèi)者的喜愛(ài).各種品牌相繼投放市場(chǎng).一汽貿(mào)公司經(jīng)銷某品牌新能源汽車.去年銷售總額為5000萬(wàn)元,今年1~5月份,每輛車的銷售價(jià)格比去年降低1萬(wàn)元.銷售數(shù)量與去年一整年的相同.銷售總額比去年一整年的少20%,今年1~5月份每輛車的銷售價(jià)格是多少萬(wàn)元?設(shè)今年1~5月份每輛車的銷售價(jià)格為x萬(wàn)元.根據(jù)題意,列方程正確的是( )
A. B.
C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在邊長(zhǎng)為1的正方形組成的網(wǎng)格中,△AOB的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上,點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是A(3,2)、B(1,3).△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到A1OB1.
(1)畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后的圖形;
(2)點(diǎn)A1的坐標(biāo)為 ;
(3)求線段OB在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所掃過(guò)的圖形面積(寫(xiě)過(guò)程).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,正方形A1B1C1D1,D1E1E2B2,A2B2C2D2,D2E3E4B3,A3B3C3D3…,按如圖所示的方式放置,其中點(diǎn)B1在y軸上,點(diǎn)C1,E1,E2,C2,E3,E4,C3,…,在x軸上,已知正方形A1B1C1D1的邊長(zhǎng)為1,∠B1C1O=60°,B1C1∥B2C2∥B3C3……,則正方形A2018B2018C2018D2018邊長(zhǎng)是( )
A.B.C.D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=∠ADC=90°,對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O,DE平分∠ADC交BC于點(diǎn)E,連接OE.
(1)求證:四邊形ABCD是矩形;
(2)若AB=4,求△OEC的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】隨著信息技術(shù)的迅猛發(fā)展,人們?nèi)ド虉?chǎng)購(gòu)物的支付方式更加多樣、便捷.某校數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計(jì)了一份調(diào)查問(wèn)卷,要求每人選且只選一種你最喜歡的支付方式.現(xiàn)將調(diào)查結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)并繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)結(jié)合圖中所給的信息解答下列問(wèn)題:
(1)這次活動(dòng)共調(diào)查了 人;在扇形統(tǒng)計(jì)圖中,表示“支付寶”支付的扇形圓心角的度數(shù)為 ;
(2)將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整.觀察此圖,支付方式的“眾數(shù)”是“ ”;
(3)在一次購(gòu)物中,小明和小亮都想從“微信”、“支付寶”、“銀行卡”三種支付方式中選一種方式進(jìn)行支付,請(qǐng)用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表格的方法,求出兩人恰好選擇同一種支付方式的概率.
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