Question

關(guān)于x的一元二次方程4x²+4（m-1）x+m²=0
（1）當(dāng)m在什么范圍取值時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根？
（2）設(shè)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x₁，x₂，問(wèn)m為何值時(shí)，x12+x22=17？
（3）若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x₁，x₂，問(wèn)x₁和x₂能否同號(hào)？若能同號(hào)，請(qǐng)求出相應(yīng)m的取值范圍；若不能同號(hào)，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）∵當(dāng)△=[4（m-1）]²-4×4m²=-8m+4≥0時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
即m≤

1

2

，
∴當(dāng)m≤

1

2

時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

（2）根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系得：x₁+x₂=-

4(m-1)

4

=1-m，x₁•x₂=

m2

4

，
∵x₁²+x₂²=17，
∴（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=17，
∴（1-m）²-

m2

2

=17＜
解得：m₁=8，m₂=-4，
∵當(dāng)m≤

1

2

時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴m=-4；

（3）∵由（1）知當(dāng)m≤

1

2

時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，由（2）知，x₁•x₂=

m2

4

，
∴

m2

4

＞0，
∴當(dāng)m≠0，且m≤

1

2

時(shí)，x₁和x₂能同號(hào)，
即m的取值范圍是：m≠0，且m≤

1

2

．