Question

將一張透明的平行四邊形膠片沿對角線剪開，得到圖①中的兩張三角形膠片△ABC和△DEF．將這兩張三角形膠片的頂點B與頂點E重合，把△DEF繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)，這時AC與DF相交于點O．

（1）當(dāng)△DEF旋轉(zhuǎn)至如圖②位置，點B（E），C，D在同一直線上時，∠AFD與∠DCA的數(shù)量關(guān)系是

 

；
（2）當(dāng)△DEF繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖③位置時，（1）中的結(jié)論還成立嗎？請說明理由；
（3）在圖③中，連接BO，AD，探索BO與AD之間有怎樣的位置關(guān)系，并證明．

Answer 1

分析：（1）要證∠AFD=∠DCA，只需證△ABC≌△DEF即可；
（2）結(jié)論成立，先證△ABC≌△DEF，再證△ABF≌△DEC，得∠BAF=∠EDC，推出∠AFD=∠DCA；
（3）BO⊥AD，由△ABC≌△DEF得BA=BD，點B在AD的垂直平分線上，且∠BAD=∠BDA，繼而證得∠OAD=∠ODA，OA=OD，點O在AD的垂直平分線上，即BO⊥AD．

解答：解：（1）∠AFD=∠DCA．
證明：∵AB=DE，BC=EF，∠ABC=∠DEF，
∴△ABC≌△DEF，
∴∠ACB=∠DFE，
∴∠AFD=∠DCA；

（2）∠AFD=∠DCA（或成立），理由如下：
方法一：由△ABC≌△DEF，得：
AB=DE，BC=EF（或BF=EC），∠ABC=∠DEF，∠BAC=∠EDF，
∴∠ABC-∠FBC=∠DEF-∠CBF，
∴∠ABF=∠DEC，
在△ABF和△DEC中，

AB=DE ∠ABF=∠DEC BF=EC

，
∴△ABF≌△DEC（SAS），∠BAF=∠EDC，
∴∠BAC-∠BAF=∠EDF-∠EDC，∠FAC=∠CDF，
∵∠AOD=∠FAC+∠AFD=∠CDF+∠DCA，
∴∠AFD=∠DCA；
方法二：連接AD，
同方法一△ABF≌△DEC，
∴AF=DC，
∵△ABC≌△DEF，
∴FD=CA，
在△AFD和△DCA中，

AF=DC FD=CA AD=DA

，
∴△AFD≌△DCA，
∴∠AFD=∠DCA；

（3）如圖，BO⊥AD．
方法一：由△ABC≌△DEF，點B與點E重合，得∠BAC=∠BDF，BA=BD，
∴點B在AD的垂直平分線上，且∠BAD=∠BDA，
∵∠OAD=∠BAD-∠BAC，∠ODA=∠BDA-∠BDF，
∴∠OAD=∠ODA，
∴OA=OD，點O在AD的垂直平分線上，
∴直線BO是AD的垂直平分線，即BO⊥AD；

方法二：延長BO交AD于點G，
同方法一，OA=OD，
在△ABO和△DBO中，

AB=DB BO=BO OA=OD

，
∴△ABO≌△DBO，
∴∠ABO=∠DBO，
在△ABG和△DBG中，

AB=DB ∠ABG=∠DBG BG=BG

，
∴△ABG≌△DBG，
∴∠AGB=∠DGB=90°，
∴BO⊥AD．

點評：本題綜合考查全等三角形、等腰三角形和旋轉(zhuǎn)的有關(guān)知識．注意對三角形全等知識的綜合應(yīng)用．