Question

如圖，有一直徑MN=4的半圓形紙片，其圓心為點P，從初始位置Ⅰ開始，在無滑動的情況下沿數(shù)軸向右翻滾至位置Ⅴ，其中，位置Ⅰ中的MN平行于數(shù)軸，且半⊙P與數(shù)軸相切于原點O；位置Ⅱ和位置Ⅳ中的MN垂直于數(shù)軸，位置Ⅲ中的MN在數(shù)軸上；位置Ⅴ中的點N到數(shù)軸的距離為3，且半⊙P與數(shù)軸相切于點A．
解答下列問題：
（1）紙片半⊙P從位置Ⅲ翻滾到位置Ⅳ時，該紙片所掃過圖形的面積；
（2）求位置Ⅲ中的圓心P在數(shù)軸上表示的數(shù)；
（3）求點A在數(shù)軸上表示的數(shù)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)扇形面積公式分別求出面積即可；
（2）根據(jù)位置Ⅰ中

ON

的長與數(shù)軸上線段ON相等求出

ON

的長，再根據(jù)弧長公式求出

ON

的長，進而可得出結論；
（3）作NC垂直數(shù)軸于點C，作PH⊥NC于點H，連接PA，則四邊形PHCA為矩形，在Rt△NPH中，根據(jù)sin∠NPH=

NH

PN

=

1

2

即可∠NPH、∠MPA的度數(shù)，進而可得出

MA

的長，即可得出答案．

解答：解：（1）∵S_半圓=

180π×22

360

=2π，S_扇形=

90π×42

360

=4π，
∴半⊙P所掃過圖形的面積為：2π+4π=6π．

（2）∵位置Ⅰ中

ON

的長與數(shù)軸上線段ON相等，

ON

的長為

90π×2

180

=π，NP=2，
∴位置Ⅲ中的圓心P在數(shù)軸上表示的數(shù)為：π+2．

（3）如圖，作NC垂直數(shù)軸于點C，作PH⊥NC于點H，連接PA，則四邊形PHCA為矩形．
在Rt△NPH中，PN=2，NH=NC-HC=NC-PA=1，
于是sin∠NPH=

NH

PN

=

1

2

，
∴∠NPH=30°．
∴∠MPA=60°．
從而

MA

的長為

60π×2

180

=

2π

3

，于是OA的長為：π+4+

2

3

π=

5

3

π+4．
∴點A在數(shù)軸上表示的數(shù)為：

5

3

π+4．

點評：本題考查了直線與圓的關系、弧長的計算、扇形的面積公式，在解答此題時要注意Ⅰ中

ON

的長與數(shù)軸上線段ON相等的數(shù)量關系．