Question

如圖，邊長(zhǎng)為2的等邊三角形AOB的頂點(diǎn)在反比例函數(shù)y=

m

x

（m＞0）的圖象上，等邊△BCD的頂點(diǎn)D也在反比例函數(shù)的圖象上，依次作等邊三角形使三角形的一邊在x軸上，第三個(gè)點(diǎn)D在反比例函數(shù)的圖象上，則m的值與第n個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)分別為（　�。�

• A、

  3

  ，

  n

  -

  n-1

• B、

  3

  ，2（

  n

  -

  n-1

  ）
• C、2

  3

  ，

  n

  -

  n-1

• D、2

  3

  ，2

  n

  -

  n-1

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：首先過(guò)點(diǎn)A組AH⊥x軸于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥x軸于點(diǎn)G，由邊長(zhǎng)為2的等邊三角形AOB的頂點(diǎn)在反比例函數(shù)y=

m

x

（m＞0）的圖象上，可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求得m的值，再分別求得第二個(gè)、第三個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)，繼而可得規(guī)律：第n個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為：2（

n

-

n-1

）．

解答：解：過(guò)點(diǎn)A組AH⊥x軸于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥x軸于點(diǎn)G，
∵△AOB是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，
∴OH=1，
∴AH=

OA2-OH2

=

3

，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為：（1，

3

），
∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=

m

x

（m＞0）的圖象上，
∴

3

=

m

1

，
∴m=

3

；
設(shè)BG=a，則DG=

3

a，
∴點(diǎn)D（2+a，

3

a），
∵點(diǎn)D在反比例函數(shù)y=

3

x

（m＞0）的圖象上，
∴

3

a=

3

2+a

，
解得：a=±

2

-1（負(fù)值舍去），
∴a=

2

-1，
∴△BCD的邊長(zhǎng)為：2（

2

-1），
同理：設(shè)第三個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為2b，則在反比例函數(shù)圖象的點(diǎn)的坐標(biāo)為：（2

2

+b，

3

b），
∴

3

b=

3

2 2 +b

，
解得：b=

3

-

2

，
∴第三個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為：2（

3

-

2

）；
∴第n個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為：2（

n

-

n-1

）．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于反比函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)求反比例函數(shù)解析式以及等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．