Question

如圖，正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AD，DC的中點，BF，CE相交于點M，
求證：AM=AB．

Answer 1

證明：分別延長BA，CE交于N點，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=CD=AB=CD，∠D=∠BCF=90°，AB∥CD，
∵E是AD中點，F(xiàn)是CD中點，
∴DE=CF，
在△BCF和△CDE中，
，
∴△BCF≌△CDE（SAS），
∴∠CBF=∠DCE，
∴∠CBF+∠BCM=∠DCE+∠BCM=90°，
∵E是AD的中點，AN∥CD，
∴AE=DE，∠N=∠ECD，∠NAE=∠CDE，
在△ANE和△DCE中，
，
∴△ANE≌△DCE（AAS），
∴AN=CD，
∴AN=AB，
在Rt△BMN中，AM=BN，
∴AM=AB．
分析：首先分別延長BA，CE交于N點，由正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AD，DC的中點，易證得△BCF≌△CDE，可得BF⊥CE，又可證得△ANE≌△DCE，即可得AN=AB，然后由直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半，證得AM=AB．
點評：此題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應用．