Question

（2010•博野縣二模）圖①是一張長(zhǎng)與寬不相等的矩形紙片，同學(xué)們都知道按圖②所示的折疊方法可以裁剪出一個(gè)正方形紙片和一個(gè)矩形紙片（如圖③），

（1）實(shí)驗(yàn)：
將這兩張紙片分別按圖④、⑤所示的折疊方法進(jìn)行：

請(qǐng)你分別在圖④、⑤的最右邊的圖形中用虛線畫(huà)出折痕，并順次連接每條折痕的端點(diǎn)，所圍成的四邊形分別是什么四邊形？
（2）當(dāng)原矩形紙片的AB=4，BC=6時(shí)，分別求出（1）中連接折痕各端點(diǎn)所得四邊形的面積，并求出它們的面積比；
（3）當(dāng)紙片ABCD的長(zhǎng)和寬滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時(shí)先后得到的兩個(gè)四邊形的面積比等于（2）所得到的兩個(gè)四邊形的面積比？
（4）用（2）中所得到的兩張紙片，分別裁剪出那兩個(gè)四邊形，用剩下的8張紙片拼出兩個(gè)周長(zhǎng)不相等的等腰梯形，用圖表示并標(biāo)明主要數(shù)據(jù)，分別求出兩梯形的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意知：圖④正方形和圖⑤矩形的折痕分別是對(duì)邊中點(diǎn)所在的直線，順次連接圖④正方形的四邊中點(diǎn)，所得四邊形的對(duì)角線相等且互相垂直平分，因此其形狀是正方形；順次連接圖⑤矩形的四邊中點(diǎn)，所得四邊形的對(duì)角線互相垂直平分，因此其形狀是菱形；
（2）已知了原矩形的長(zhǎng)和寬，即可求得圖④正方形的邊長(zhǎng)和圖⑤矩形的長(zhǎng)和寬，進(jìn)而可求出（1）中連接折痕各端點(diǎn)所得四邊形的對(duì)角線的長(zhǎng)，它們的面積都是對(duì)角線乘積的一半，由此可求得兩個(gè)四邊形的面積，進(jìn)而得到它們的比例關(guān)系；
（3）可設(shè)出原矩形的長(zhǎng)和寬，按照（2）的方法分別表示出（1）中連接折痕各端點(diǎn)所得四邊形的面積，然后根據(jù)它們的比例關(guān)系即可求出a、b需要滿足的條件；
（4）裁剪掉那兩個(gè)四邊形后剩下八個(gè)直角三角形，可分成兩類：
①兩條直角邊為2的等腰直角三角形，②直角邊為1和2的直角三角形；
然后動(dòng)手操作即可拼成兩個(gè)周長(zhǎng)不等的等腰梯形，進(jìn)而可求出其周長(zhǎng)．
解答：解：（1）圖④所示的是正方形，圖⑤所示的菱形．（2分）

（2）S_菱形=S_正方形=，S_菱形MNPQ=S_矩形=
S_正方形：S_菱形=2；（4分）

（3）設(shè)AB=a，BC=b，
則S_正方形=，S_菱形=a（b-a）=ab-a²，
要使S_正方形=2S_菱形，
需
∴3a²=2ab；
由∵a不等于0，
∴3a=2b；（7分）

（4）如圖所示，兩等腰梯形面積分別為6或6．
（10分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查圖形的折疊與拼接，同時(shí)考查了直角三角形、特殊四邊形等幾何基本知識(shí)，解題時(shí)應(yīng)分別對(duì)每一個(gè)圖形進(jìn)行仔細(xì)分析，難度適中．