Question

（2013•奉賢區(qū)二模）如圖，已知二次函數(shù)y=-x²+2mx的圖象經(jīng)過點(diǎn)B（1，2），與x軸的另一個交點(diǎn)為A，點(diǎn)B關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)為C，過點(diǎn)B作直線BM⊥x軸垂足為點(diǎn)M．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）在直線BM上有點(diǎn)P（1，

3

2

），聯(lián)結(jié)CP和CA，判斷直線CP與直線CA的位置關(guān)系，并說明理由；
（3）在（2）的條件下，在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)E，使得以A、C、P、E為頂點(diǎn)的四邊形為直角梯形？若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）將點(diǎn)B（1，2），代入二次函數(shù)y=-x²+2mx，得到關(guān)于m的方程，求得m的值，從而得到二次函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)題意可知點(diǎn)A（3，0），C（2，2），P（1，

3

2

），根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可得PA，PC，AC的長，再根據(jù)勾股定理的逆定理即可判斷直線CP與直線CA的位置關(guān)系；
（3）分①當(dāng)點(diǎn)E在x軸上，PE∥CA，②當(dāng)點(diǎn)E在y軸上，PC∥AE，兩種情況討論即可得到使得以A、C、P、E為頂點(diǎn)的四邊形為直角梯形的點(diǎn)E的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵點(diǎn)B（1，2）在二次函數(shù)y=-x²+2mx的圖象上，
∴-1²+2m=2
解得m=

3

2

．
故二次函數(shù)的解析式為y=-x²+3x；

（2）直線CP與直線CA的位置關(guān)系是垂直．
∵二次函數(shù)的解析式為y=-x²+3x，
∴點(diǎn)A（3，0），C（2，2），
∵P（1，

3

2

），
∴PA²=

25

4

，PC²=

5

4

，AC²=5，
∴PA²=PC²+AC²，
∴∠PCA=90°，即CP⊥CA；

（3）假設(shè)在坐標(biāo)軸上存在點(diǎn)E，使得以A、C、P、E為頂點(diǎn)的四邊形為直角梯形，
∵∠PCA=90°，
則①當(dāng)點(diǎn)E在x軸上，PE∥CA，
∴△CBP∽△PME，
∴

CB

PM

=

BP

ME

，
∴ME=

3

4

，
∴E₁（

7

4

，0）；
②當(dāng)點(diǎn)E在y軸上，PC∥AE，
∴△CBP∽△AOE，
∴

CB

AO

=

BP

OE

，
∴OE=

3

2

，
∴E₂（0，-

3

2

）．
即點(diǎn)Q的坐標(biāo)E₁（

7

4

，0）、E₂（0，-

3

2

）時，以A、C、P、E為頂點(diǎn)的四邊形為直角梯形．

點(diǎn)評：考查了二次函數(shù)綜合題，涉及到：直角梯形的性質(zhì)、二次函數(shù)解析式的確定、兩點(diǎn)間的距離公式、勾股定理的逆定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等重要知識點(diǎn)．（3）題中，注意要分類討論，以免漏解．