Question

【題目】如圖1，正方形紙片ABCD的邊長(zhǎng)為2，翻折∠B、∠D，使得兩個(gè)直角的頂點(diǎn)重合于對(duì)角線BD上一點(diǎn)P，EF、GH分別是折痕（如圖2）．設(shè)AE＝x（0＜x＜2），給出下列判斷：

①當(dāng)x＝1時(shí)，點(diǎn)P是正方形ABCD的中心；

②當(dāng)x＝時(shí)，EF＋GH＞AC；

③當(dāng)0＜x＜2時(shí)，六邊形AEFCHG面積的最大值是；

④當(dāng)0＜x＜2時(shí)，六邊形AEFCHG周長(zhǎng)的值不變．

其中正確的是________（填序號(hào)）．

Answer 1

【答案】①④．

【解析】試題分析：①正方形紙片ABCD，翻折∠B、∠D，使兩個(gè)直角的頂點(diǎn)重合于對(duì)角線BD上一點(diǎn)P，∴△BEF和△DGH是等腰直角三角形，∴當(dāng)AE=1時(shí)，重合點(diǎn)P是BD的中點(diǎn)，∴點(diǎn)P是正方形ABCD的中心；故①結(jié)論正確；②正方形紙片ABCD，翻折∠B、∠D，使兩個(gè)直角的頂點(diǎn)重合于對(duì)角線BD上一點(diǎn)P，∴△BEF∽△BAC，∵x=，∴BE=2-=，∴，即，∴EF=AC，同理，GH=AC，∴EF+GH=AC，故②結(jié)論錯(cuò)誤；③六邊形AEFCHG面積=正方形ABCD的面積-△EBF的面積-△GDH的面積．∵AE=x，∴六邊形AEFCHG面積=BEBF-GDHD=4-×（2-x）（2-x）-xx==，∴六邊形AEFCHG面積的最大值是3，故③結(jié)論錯(cuò)誤；④當(dāng)0＜x＜2時(shí)，∵EF+GH=AC，六邊形AEFCHG周長(zhǎng)=AE+EF+FC+CH+HG+AG=（AE+CH）+（FC+AG）+（EF+GH）=2+2+2=4+2，故六邊形AEFCHG周長(zhǎng)的值不變，故④結(jié)論正確．