Question

【題目】如圖，四邊形中，，，連接，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，射線交的延長線于點(diǎn)，連接．

（1）求證：四邊形是菱形；

（2）若，，求的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）

【解析】

（1）根據(jù)DE＝EC，AF∥BC，得出內(nèi)錯角相等，證明△BCE≌△FDE，可判斷BC∥DF且BC＝DF，從而得出四邊形BCDF為平行四邊形，再根據(jù)菱形的判定求解即可；

（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得到BD＝DF＝BC＝2，根據(jù)勾股定理可得AB，根據(jù)線段的和差關(guān)系可得AF，再根據(jù)勾股定理可得BF的長．

解：（1）∵AF∥BC，

∴∠DCB=∠CDF，∠FBC=∠BFD，

∵點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，

∴DE=EC，

在△BCE與△FDE中，

，

∴△BCE≌△FDE；

∴DF=BC，

又∵DF∥BC，

∴四邊形BCFD為平行四邊形，

∵BD=BC，

∴四邊形BCFD是菱形；

（2）∵四邊形BCFD是菱形，AD=1，BC=2，

∴BD=DF=BC=2，

在Rt△BAD中，AB=

∵AF=AD+DF=1+2=3，

在Rt△BAF中，BF=．