Question

長方形四邊的長度都是小于10的整數（單位：厘米），這四個長度數可以構成一個四位數，這個四位數的千位數字與百位數字相同，并且這個四位數是一個完全平方數，求這個長方形的面積．

Answer 1

分析：此題可設長方形的邊長為xcm、ycm，則四位數N=1000x+100x+10y+y=1100x+11y=11（100x+y）=11（99x+x+y）
可證得x+y=11，從而得出9x+1是一個完全平方數，經試算即可解答．

解答：解：設長方形的邊長為xcm、ycm，
則四位數N=1000x+100x+10y+y=1100x+11y=11（100x+y）=11（99x+x+y）
∵N是一個完全平方數，11為質數，∴x+y能被11整除，
又∵1≤x≤9，1≤y≤9∴2≤x+y≤18，得x+y=11
∴N=11（99x+x+y）=11²（9x+1）∴9x+1是一個完全平方數，
經試算知當x=7時滿足條件，故y=4，從而長方形的面積=7×4=28cm²．

點評：此題主要考查完全平方數的特征，正確列出代數式是解題的關鍵．