Question

（2011•黃浦區(qū)一模）已知二次函數(shù)y=ax²-2ax-3a（a＞0）．
（1）求此二次函數(shù)圖象與x軸交點A、B（A在B的左邊）的坐標(biāo)；
（2）若此二次函數(shù)圖象與y軸交于點C、且△AOC∽△COB（字母依次對應(yīng)）．
①求a的值；
②求此時函數(shù)圖象上關(guān)于原點中心對稱的兩個點的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知二次函數(shù)的解析式，令函數(shù)值為零，所求的方程的解即為該函數(shù)與X軸交點的橫坐標(biāo)，就可以寫出A、B兩點的坐標(biāo)；
（2）先求出C點的坐標(biāo)①根據(jù)兩個三角形相似的條件，列出關(guān)于a的一個比例關(guān)系，就能求出a的值；②可先根據(jù)①寫出這個二次函數(shù)的解析式，由于所求的兩個點關(guān)于原點中心對稱，因此設(shè)其中一點的橫坐標(biāo)為t，另一點的橫坐標(biāo)就是-t，這樣根據(jù)兩點的縱坐標(biāo)關(guān)系，進而求出這兩點的坐標(biāo)．
解答：解：（1）令ax²-2ax-3a=0（1分）
解得x₁=-1，x₂=3（2分）
所以A（-1，0），B（3，0）．（1分）
（2）①易知C（0，-3a），由△AOC∽△COB，（1分）
則，即，（2分）
解得（舍負）．（1分）
②此時函數(shù)解析式為，
設(shè)函數(shù)圖象上兩點，（1分）
由兩點關(guān)于原點中心對稱，得：=（1分）
解得，（1分）
∴這兩個點的坐標(biāo)為與．（1分）
點評：本題主要考查了二次函數(shù)與x軸、y軸交點的求法、相似三角形等知識點．考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)方法．