Question

【題目】如圖,AP,CP分別平分∠BAC,∠ACD,∠P=90°,設(shè)∠BAP=α.

(1)用α表示∠ACP;

(2)求證:AB∥CD;

(3)若AP∥CF,求證:FC平分∠DCE.

Answer 1

【答案】（1）∠CAP=90°-α； （2）證明見解析；（3）證明見解析；

【解析】試題分析：（1）由角平分線的定義可得∠PAC=α，在Rt△PAC中根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可求得∠ACP；

（2）結(jié)合（1）可求得∠ACD，可證明∠ACD+∠BAC=180°，可證明AB∥CD；

（3）由平行線的性質(zhì)可得∠ECF=∠CAP，∠ECD=∠CAB，結(jié)合條件可證得∠ECF=∠FCD，可證得結(jié)論．

試題解析：（1）解：∵AP平分∠BAC，∴∠CAP=∠BAP=α．

∵∠P=90°，∴∠ACP=90°-∠CAP=90°-α；

（2）證明：由（1）可知∠ACP=90°-α．

∵CP平分∠ACD，∴∠ACD=2∠ACP=180°-2α．

又∠BAC=2∠BAP=2α，∴∠ACD+∠BAC=180°，∴AB∥CD；

（3）證明：∵AP∥CF，∴∠ECF=∠CAP=α．

由（2）可知AB∥CD，∴∠ECD=∠CAB=2α，∴∠DCF=∠ECD-∠ECF=α，∴∠ECF=∠DCF，∴CF平分∠DCE．