Question

（2011•津南區(qū)一模）如圖（1），在Rt△ACB中，∠C=90°，以BC為直徑作⊙O交AB于點D．
（Ⅰ）求證：

AC

AB

=

AD

AC

；
（Ⅱ）當(dāng)點E是AC的中點時，如圖（2）所示，直線ED與⊙O相切嗎？請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）連接CD．根據(jù)相似三角形的判定定理AA證得Rt△ADC∽Rt△ACB，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例可以證得結(jié)論；
（Ⅱ）ED與⊙O相切．連接OD．欲證直線ED與⊙O相切，只需證明ED⊥OD，即∠EDO=90°即可．

解答：證明：（Ⅰ）連接CD．
∵BC為直徑，∴∠ADC=90°…（1分）
∵∠ACB=90°，∴∠ADC=∠ACB…（2分）
∵∠A=∠A，∴Rt△ADC∽Rt△ACB …（3分）
∴

AC

AB

=

AD

AC

…（4分）

（Ⅱ）ED與⊙O相切．  …（5分）
理由如下：連接OD．
∵DE是Rt△ADC的中線．∴ED=EC…（6分）
∴∠EDC=∠ECD．…（7分）
∵OC=OD，∴∠ODC=∠OCD．
∴∠EDO=∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD=∠ACB=90°…（8分）
∴ED與⊙O相切．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、切線的性質(zhì)．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．