Question

如圖，△ABC內接于⊙O，AB是直徑，過點A作直線MN，若∠MAC=∠ABC．
（1）求證：MN是⊙O的切線；
（2）設D是弧AC的中點，連接BD交AC于點G，過點D作DE⊥AB于點E，交AC于點F．
①求證：FD=FG；
②若BC=4，AB=6，試求AE的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）即證∠MAC+∠CAB=90°．因為AB為直徑，所以∠ACB=90°，∠ABC+∠CAB=90°．由∠MAC=∠ABC得證．
（2）①證明∠BDE=∠DGF即可．∠BDE=90°-∠ABD；∠DGF=∠CGB=90°-∠CBD．因為D是弧AC的中點，所以∠ABD=∠CBD．問題得證．
②連接AD、CD，作DH⊥BC，交BC的延長線于H點．證明Rt△ADE≌Rt△CDH，得AE=CH．根據(jù)AB=BH求解．
解答：（1）證明：∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠ABC=90°．
∵∠MAC=∠ABC，
∴∠MAC+∠CAB=90°，即MA⊥AB，
∴MN是⊙O的切線．

（2）①證明：∵D是弧AC的中點，
∴∠DBC=∠ABD，
∵AB是直徑，
∴∠CBG+∠CGB=90°；
∵DE⊥AB，
∴∠FDG+∠ABD=90°，
∵∠DBC=∠ABD，
∴∠FDG=∠CGB=∠FGD，
∴FD=FG．

②解：連接AD、CD，作DH⊥BC，交BC的延長線于H點．
∵∠DBC=∠ABD，DH⊥BC，DE⊥AB，
∴DE=DH．
∴△BDE≌△BDH．
∴BE=BH．
∵D是弧AC的中點，
∴AD=DC．
∴Rt△ADE≌Rt△CDH．
∴AE=CH．
∴BE=AB-AE=BC+CH=BH，即6-AE=4+AE，
∴AE=1．
點評：此題考查了切線的判定、等腰三角形的判定、三角形全等等知識點，綜合性強；特別是最后一個問題構造全等三角形求解，難度較大．