Question

（2004•呼和浩特）如圖，MN切⊙O于P，AB是⊙O的弦，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N，PQ⊥AB于Q．
求證：PQ²=AM•BN．

Answer 1

分析：連接AP，BP欲證題中結論，只需證

PQ

AM

=

BN

PQ

，而要證此式，必須借助于第三個比即中間比．由△PAM∽△BPQ可得

PQ

AM

=

PB

PA

，再由△PBN∽△APQ可得

PB

PA

=

BN

PQ

，進而證明PQ²=AM•BN．

解答：證明：連接AP，BP，
∵AM⊥MN于M，PQ⊥AB于Q．
∴∠AMP=∠PQB=90°，
∵∠1=∠2，
∴△PAM∽△BPQ，
∴

PQ

AM

=

PB

PA

，
同理可得：

PB

PA

=

BN

PQ

，
∴

PQ

AM

=

BN

PQ

，
∴PQ²=AM•BN．

點評：本題考查了和圓有關的比例線段的證明題，可由所要證的比例式找到相似三角形；當要證明的比例式不能直接應用有關定理和相似三角形來證明時，可以考慮等量代換．等量代換通常有等線段代換、等比代換等．