Question

如圖1，在平面直角坐標系中，A（a，0），C（b，2），且滿足（a+b）²+|a-b+4|=0，過C作CB⊥x軸于B．
（1）求三角形ABC的面積．
（2）若過B作BD∥AC交y軸于D，且AE，DE分別平分∠CAB，∠ODB，如圖2，求∠AED的度數(shù)．
（3）在y軸上是否存在點P，使得三角形ABC和三角形ACP的面積相等？若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)得到a=-b，a-b+4=0，解得a=-2，b=2，則A（-2，0），B（2，0），C（2，2），即可計算出三角形ABC的面積=4；

（2）由于CB∥y軸，BD∥AC，則∠CAB=∠ABD，即∠3+∠4+∠5+∠6=90°，過E作EF∥AC，則BD∥AC∥EF，然后利用角平分線的定義可得到∠3=∠4=∠1，∠5=∠6=∠2，所以∠AED=∠1+∠2=

1

2

×90°=45°；

（3）先根據(jù)待點系數(shù)法確定直線AC的解析式為y=

1

2

x+1，則G點坐標為（0，1），然后利用S_△PAC=S_△APG+S_△CPG進行計算．

解答：解：（1）∵（a+b）²≥0，|a-b+4|≥0，（a+b）²+|a-b+4|=0
∴a=-b，a-b+4=0，
∴a=-2，b=2，
∵CB⊥AB
∴A（-2，0），B（2，0），C（2，2）

∴三角形ABC的面積=

1

2

×4×2=4；


（2）∵CB∥y軸，BD∥AC，
∴∠CAB=∠ABD，

∴∠3+∠4+∠5+∠6=90°，
過E作EF∥AC，
∵BD∥AC，
∴BD∥AC∥EF，
∵AE，DE分別平分∠CAB，∠ODB，
∴∠3=∠4=∠1，∠5=∠6=∠2，
∴∠AED=∠1+∠2=

1

2

×90°=45°；


（3）存在．理由如下：
設(shè)P點坐標為（0，t），直線AC的解析式為y=kx+b，

把A（-2，0）、C（2，2）代入得

-2k+b=0 2k+b=2

，解得

k= 1 2 b=1

，

∴直線AC的解析式為y=

1

2

x+1，

∴G點坐標為（0，1），

∴S_△PAC=S_△APG+S_△CPG=

1

2

|t-1|•2+

1

2

|t-1|•2=4，解得t=3或-1，

∴P點坐標為（0，3）或（-1，0）．

點評：本題考查了平行線的判定與性質(zhì)：內(nèi)錯角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯角相等．也考查了非負數(shù)的性質(zhì)．