Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，DA平分∠CAB交BC于點(diǎn)D．問能否在AB上確定一點(diǎn)E，使△BDE的周長等于AB的長？若能請作出E點(diǎn)，并給出證明；若不能，請說明理由．

Answer 1

解：能在AB上確定一點(diǎn)E，使△BDE的周長等于AB的長．
證明：過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，
∵在△ABC中，∠C=90°，DA平分∠CAB，
∴DC=DE，∠CDA=∠EDA，
∴AE=AC，
∵AC=BC，
∴∠B=45°，BC=AE，
∴△BED是等腰直角三角形，
∴DE=BE，
∴△BDE的周長為：DE+BD+BE=DC+BD+BE=BC+BE=AE+BE=AB．
分析：首先過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，由角平分線的性質(zhì)，可證得DC=DE，繼而可證得AE=AC，又由在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，可證得AE=BC，△BDE是等腰直角三角形，繼而證得△BDE的周長等于AB．
點(diǎn)評：此題考查了角平分線的性質(zhì)以及等腰直角三角形性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．