Question

如圖，C為BE上一點，以BC、CE為邊向線段BE同側作等邊△ABC、等邊△CDE，BD交AC于M，交AE于點G，AE交CD于N，連接CG．
（1）若BD=6，求AE的長；
（2）求證：EG=CG+DG．

Answer 1

解：（1）∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，
∴AC=BC，CE=DC，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，
∴∠DCB=∠ACE．
在△ACE和△BCD中
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE=BD．
∵BD=6，
∴AE=6．
答：AE=6．
（2）證明：在EG上截取FE=DG，連接CF，CG，
∵△ABC和△DCE都是等邊三角形，
∴AC=BC，CE=CD，∠DCE=∠BCA=60°，
∴∠DCE+∠DCM=∠BCA+∠DCM，
即∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，

∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴∠BDC=∠AEC，
在△DGC和△EFC中，

∴△DGC≌△EFC（SAS），
∴CG=CF，∠GCD=∠FCE，
∵∠FCE+∠FCD=60°，
∴∠GCD+∠FCD=60°，即∠GCF=60°
∴△GCF為等邊三角形，
∴CG=GF，
∴GE=GF+FE=GD+CG，
即EG=CG+DG．
分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)證明△ACE≌△BCD就可以得出AE=BD，而得出結論；
（2）在EG上截取FE=DG，連接CF，CG，在等邊△ABC和等邊△DCE中，證△DGC≌△EFC，推出CG=CF，∠GCD=∠FCE，得出等邊三角形GCF，推出CG=GF即可．
點評：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)和判定的運用，等腰三角形的性質(zhì)的應用，主要考查學生綜合運用性質(zhì)進行推理的能力．