Question

請(qǐng)閱讀下列材料：
圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線(xiàn)段長(zhǎng)的積相等，即如圖（1），若弦AB、CD交于點(diǎn)P則PA·PB=PC·PD，請(qǐng)你根據(jù)以上材料，解決下列問(wèn)題，已知⊙O的半徑為2，P是⊙O內(nèi)一點(diǎn)，且OP=1，過(guò)點(diǎn)P任作一弦AC，過(guò)A、C兩點(diǎn)分別作圓O的切線(xiàn)m和n，作PQ⊥m于點(diǎn)Q，PR⊥n于點(diǎn)R。（如圖（2））

（1）若AC恰經(jīng)過(guò)圓心O，請(qǐng)你在圖（3）中畫(huà)出符合題意的圖形，并計(jì)算：的值；
（2）若OP⊥AC，請(qǐng)你在圖（4）中畫(huà)出符合題意的圖形，并計(jì)算：的值；
（3）若AC是過(guò)點(diǎn)P的任一弦（圖（2）），請(qǐng)你結(jié)合（1）（2）的結(jié)論，猜想：的值，并給出證明。

Answer 1

解：（1）AC過(guò)圓心O，且m，n分別切⊙O于點(diǎn)A，C，如圖（1）所示， ∴AC⊥m于點(diǎn)A，AC⊥n于點(diǎn)C， ∴Q與A重合，R與C重合，OP=1，AC=4， ∴=
（2）連接OA，如圖（2）所示，OP⊥AC于點(diǎn)P，且OP=1，OA=2 ∴∠OAP=30°， ∴AP=， OA⊥直線(xiàn)m，PQ⊥直線(xiàn)m， ∴OA∥PQ，∠PQA=90°， ∴∠APQ=∠OAP=30°， ∴在Rt△AQP中，PQ=，同理：；
（3）猜想： 證明：過(guò)點(diǎn)A作直徑交⊙O于點(diǎn)E，連接CE，如圖（3）所示 ∴ECA=90°AEi直線(xiàn)m，PQ上直線(xiàn)m， ∴AE∥PQ且∠PQA=90° ∴∠EAC=∠APQ ∴△AEC∽△PAQ ， 同理可得： ， ①+②，得 過(guò)點(diǎn)P作直徑交⊙O于點(diǎn)M，N由閱讀材料可知：AP·PC=PM·PN=3， 。