Question

如圖，AB是⊙O的直徑，CB是⊙O的弦，D是

AC

的中點，過點D作直線于BC垂直，交BC延長線于E點，且交BA延長線于F點．
（1）求證：EF是⊙O的切線；
（2）若tanB=

7

3

，BE=6，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析：（1）連接OD，根據(jù)圓周角定理，可證明∠AOD=∠B，則OD∥BC，從而得出∠ODF=90°，即EF是⊙O的切線；
（2）設(shè)⊙O的半徑為r，因為∠AOD=∠B，tanB=

7

3

，則DF=

7 r

3

，再由△ODF∽△BEF，即可得出r．

解答：（1）證明：連接OD，
∵D是

AC

的中點，
∴∠AOD=∠B，
∴OD∥BC，
∵EF⊥BE，
∴∠E=90°，
∴∠ODF=90°，
即EF是⊙O的切線；

（2）解：設(shè)⊙O的半徑為r，∵∠AOD=∠B，tanB=

7

3

，BE=6，
∴DF=

7 r

3

，
∵

EF

BE

=

7

3

∴EF=2

7

，
∴EF²+BE²=BF²，
即BF=8，
∵OD∥BC，
∴△ODF∽△BEF，
∴

DO

BE

=

AF

BF

，
即

r

6

=

OF

8

，
則OF=

4

3

r，
∴由切割線定理得，DF²=AF•BF，
即

7

9

r²=

1

3

r×8，
解得r=

24

7

．

點評：本題考查了切線的性質(zhì)和判定、圓周角定理以及解直角三角形．證明三角形的相似、切割線定理的應(yīng)用是比較重要的內(nèi)容．