Question

如圖，AB是⊙O的直徑，C是半圓

AB

上一點，連AC、OC，AD平分∠BAC，交

BC

于D，交OC于E，連OD，CD，下列結論：
①

BD

=

CD

；②AC∥OD；③∠ACD=∠OED；④當C是半圓

AB

的中點時，則CD=DE．
其中正確的結論是（　　）

A．①②③

B．①②④

C．①③④

D．②③④

Answer 1

分析：根據(jù)圓周角定理得出弧CD=弧BD，推出CD=BD，求出∠DOB=2∠DAB，∠CAB=2∠DAB，根據(jù)平行線判定推出AC∥OD，根據(jù)三角形外角性質即可判斷③，連接BD、BE，求出BD=DE，求出BD=CD，即可得出答案．

解答：解：∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠BAD，
∴弧BD=弧CD，∴①正確；
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠BOD=∠ODA+∠OAD=2∠DAB，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAB=2∠DAB，
∴∠DOB=∠CAB，
∴AC∥OD，∴②正確；
∵∠ACD=∠ACO+∠OCD，∠OED=∠OCD+∠CDA，
根據(jù)已知不能推出∠ACO=∠CDA，∴∠ACD=∠OED不對，∴③錯誤；
連接BD，BE，
∵C為弧AB中點，
∴∠CAB=45°，
∴∠DAB=22.5°，
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠DBA=67.5°，
∵C為弧AB中點，
∴OC⊥AB，
∵OA=OB，
∴AE=BE，
∴∠EBA=∠DAB=22.5°，
∴∠DBE=67.5°-22.5°=45°，
∴∠DEB=180°-90°-45°=45°=∠DBE，
∴DE=BD，
∵弧CD=弧BD，
∴CD=BD，
∴CD=DE，∴④正確；
故選B．

點評：本題考查了圓周角定理想，線段垂直平分線，垂徑定理，三角形外角性質等知識點的應用，主要考查學生綜合運用定理進行推理的能力．