Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，△BEF為等腰直角三角形，∠BEF＝90°，M為AF的中點(diǎn)，求證：ME＝CF.

Answer 1

【答案】證明見解析.

【解析】試題分析：延長(zhǎng)FE到N，使NE=EF，連接AN、BN，判斷出△BNF是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得BN=BF，再求出∠CBF=∠ABN，然后利用“邊角邊”證明△ABN和△CBF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AN=CF，再根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得ME=AN，從而得到ME=CF．

試題解析：如圖，延長(zhǎng)FE至N，使EN＝EF，連接BN，AN.易得ME＝AN.

∵EF＝EN，∠BEF＝90°，∴BE垂直平分FN.∴BF＝BN.

∴∠BNF＝∠BFN.∵△BEF為等腰直角三角形，∠BEF＝90°，

∴∠BFN＝45°.∴∠BNF＝45°，

∴∠FBN＝90°，即∠FBA＋∠ABN＝90°.

又∵∠FBA＋∠CBF＝90°，

∴∠CBF＝∠ABN.在△BCF和△BAN中，

∴△BCF≌△BAN.

∴CF＝AN.∴ME＝AN＝CF.