Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=10cm，BC=20cm，點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)（點(diǎn)M、N分別到達(dá)B、C兩點(diǎn)停止移動(dòng)）．
（1）設(shè)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)后第t秒鐘時(shí)，△MBN的面積為Scm²，寫(xiě)出S與t的函數(shù)關(guān)系式，并指出t的取值范圍；
（2）t為何值時(shí)，S最大，求出S的最大值；
（3）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，判斷t為何值時(shí)，MN⊥BD；并說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）根據(jù)題意知，BM=AB-AM=10-t，BN=2t，則S=BM•BN=×（10-t）×2t=-t²+10t，即S=-t²+10t，0＜t＜10；

（2）當(dāng)t=-=5時(shí)，S最大．S_最大=-5²+10×5=25；

（3）當(dāng)t=2時(shí)，MN⊥BD．理由如下：
假設(shè)MN⊥BD
則∠BMN+∠DBM=90°
∵∠DBC+∠DBM=90°
∴∠BMN=∠DBC
∴Rt△MBN∽R(shí)t△BCD
∴=
∴=，
解之得，t=2
∴當(dāng)t=2時(shí)，MN⊥BD．
分析：（1）根據(jù)三角形的面積公式得到S=BM•BN，所以把相關(guān)數(shù)據(jù)代入即可求得S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（2）根據(jù)（1）中二次函數(shù)的解析式來(lái)求最值；
（3）假設(shè)MN⊥BD，則由此推知Rt△MBN∽R(shí)t△BCD，所以根據(jù)該相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可以求得=，即=，解得t=2．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)等．解答（3）題時(shí)，采用了“逆證法”．