Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，過一點(diǎn)分別作坐標(biāo)軸的垂線，若與坐標(biāo)軸圍成矩形的周長與面積相等，則這個(gè)點(diǎn)叫做和諧點(diǎn)。例如，圖中過點(diǎn)p分別作x軸，y軸的垂線，與坐標(biāo)軸圍成矩形OAPB的周長與面積相等，則點(diǎn)p是和諧點(diǎn)。

判斷點(diǎn)M（1,2），N（4,4）是否為和諧點(diǎn)，并說明理由；

若和諧點(diǎn)P（a,3）在直線y=-x+b（b為常數(shù)）上，求a,b的值．

Answer 1

【答案】（1）∵點(diǎn)M不是和諧點(diǎn)，點(diǎn)N是和諧點(diǎn)；（2）a=6，b=9或a= -6，b= -3．

【解析】（1）根據(jù)和諧點(diǎn)的定義，利用矩形的面積和周長公式進(jìn)行證明即可；
（2）當(dāng)a>0時(shí)，根據(jù)(a+3)×2=3a，求出a，進(jìn)一步求出b；當(dāng)a<0時(shí)，根據(jù)(-a+3)×2=-3a，求出a，進(jìn)一步求出b．

解：（1）∵1×2≠2（1+2），4×4=2×（4+4），
∴點(diǎn)M不是和諧點(diǎn)，點(diǎn)N是和諧點(diǎn)．
（2）由題意得，①當(dāng)a>0時(shí)，（a+3）×2=3a，
∴a=6，
∴P（6，3），
∵點(diǎn)P在直線y=-x+b上，
∴代入得3=-6+b，
解得，b=9．

②當(dāng)a<0時(shí)， (-a+3)×2=-3a，

∴a=-6，

點(diǎn)P（a，3）在直線y=-x+b上，代入得：b=-3，

∴a=6，b=9或a= -6，b= -3．