Question

在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=

3

4

x+3與x軸，y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，⊙F與x軸、y軸和直線AB分別相切于點(diǎn)D，E，C，求⊙F的半徑．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：分類討論

分析：由條件易求出OA、OB、AB的長(zhǎng)及△AOB的面積，由于滿足條件的圓心F的位置并不唯一，因此需分情況討論（如圖1、圖2、圖3、圖4），連接FA、FB、FO、FD、FE、FC，然后只需利用S_△OAB與S_△OAF、S_△OBF、S_△ABF之間的等量關(guān)系就可求出⊙F的半徑．

解答：解：∵直線y=

3

4

x+3與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-4，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，3），
∴OA=4，OB=3．
∵∠AOB=90°，
∴S_△AOB=

1

2

OA•OB=6，AB=

OA2+OB2

=5．
①若點(diǎn)F在如圖1的位置，設(shè)⊙F的半徑為r，

連接FA、FB、FO、FD、FE、FC，則FD=FE=FC=r．
∵⊙F與x軸、y軸和直線AB分別相切于點(diǎn)D、E、C，
∴FD⊥OA，F(xiàn)E⊥OB，F(xiàn)C⊥AB．
∵S_△OAB=S_△OAF+S_△OBF+S_△ABF，
∴6=

1

2

OA•FD+

1

2

OB•FE+

1

2

AB•FC，
∴6=

1

2

r（OA+OB+AB）=

1

2

r×（4+3+5），
∴r=1．
②若點(diǎn)F在如圖2的位置，設(shè)⊙F的半徑為r，

連接FA、FB、FO、FD、FE、FC，則FD=FE=FC=r．
∵⊙F與x軸、y軸和直線AB分別相切于點(diǎn)D、E、C，
∴FD⊥OA，F(xiàn)E⊥OB，F(xiàn)C⊥AB．
∵S_△OAB=S_△OAF+S_△ABF-S_△OBF，
∴6=

1

2

OA•FD+

1

2

AB•FC-

1

2

OB•FE，
∴6=

1

2

r（OA+AB-OB）=

1

2

r×（4+5-3），
∴r=2．
③若點(diǎn)F在如圖3的位置，設(shè)⊙F的半徑為r，

連接FA、FB、FO、FD、FE、FC，則FD=FE=FC=r．
∵⊙F與x軸、y軸和直線AB分別相切于點(diǎn)D、E、C，
∴FD⊥OA，F(xiàn)E⊥OB，F(xiàn)C⊥AB．
∵S_△OAB=S_△OBF+S_△ABF-S_△OAF，
∴6=

1

2

OB•FE+

1

2

AB•FC-

1

2

OA•FD，
∴6=

1

2

r（OB+AB-OA）=

1

2

r×（3+5-4），
∴r=3．
④若點(diǎn)F在如圖4的位置，設(shè)⊙F的半徑為r，

連接FA、FB、FO、FD、FE、FC，則FD=FE=FC=r．
∵⊙F與x軸、y軸和直線AB分別相切于點(diǎn)D、E、C，
∴FD⊥OA，F(xiàn)E⊥OB，F(xiàn)C⊥AB．
∵S_△OAB=S_△OAF+S_△OBF-S_△ABF，
∴6=

1

2

OA•FD+

1

2

OB•FE-

1

2

AB•FC，
∴6=

1

2

r（OA+OB-AB）=

1

2

r×（4+3-5），
∴r=6．
綜上所述：滿足條件的⊙F的半徑為1或2或3或6．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了切線的性質(zhì)、直線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、三角形的面積公式等知識(shí)，用到了分類討論的數(shù)學(xué)思想，而運(yùn)用面積法是解決本題的關(guān)鍵．