Question

在一個(gè)邊長為a（單位：cm）的正方形ABCD中.

（1）如圖1，如果N是AD中點(diǎn)，F(xiàn)為AB中點(diǎn)，連接DF，CN.
①求證：DF=CN；
②連接AC.求DH:HE: EF的值；
（2）如圖2，如果點(diǎn)E、M分別是線段AC、CD上的動(dòng)點(diǎn)，假設(shè)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，以cm/s速度沿AC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)M從點(diǎn)C出發(fā)，以1cm/s的速度沿CD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t＞0），連結(jié)DE并延長交正方形的邊于點(diǎn)F，過點(diǎn)M作MN⊥DF于H，交AD于N.判斷命題“當(dāng)點(diǎn)F是邊AB中點(diǎn)時(shí)，則點(diǎn)M是邊CD的三等分點(diǎn)”的真假，并說明理由. （4分）

Answer 1

（1）①證明見解析；②6:4:5；（2）該命題為真命題.

試題分析：（1）①已知題中告訴的結(jié)論四邊形為正方形，那么就知道AD=CD，,又知道N是AD中點(diǎn)，F(xiàn)為AB中點(diǎn)，那么就可以得到AF=DN，由此證明△ADF≌△DCN，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；②可以根據(jù)三角形面積之比來確定線段比例，可以將三條線段歸結(jié)到一個(gè)大的三角形ADF中去，然后設(shè)出未知數(shù)來求解；（2）要判斷命題是否正確，我們采用的方法有兩種：一是反證法；二是直接證明，本題中可以采用直接證明法，結(jié)合三角形的全等以及線段比例的性質(zhì)，設(shè)出比例系數(shù)即可得到問題的答案.
試題解析：（1）①易證△ADF≌△DCN，則DF=CN；
②6:4:5
（2）該命題為真命題.
過點(diǎn)E作EG⊥AD于點(diǎn)G，
依題意得，AE=，易求AG=EG=t，
CM=t，DG=DM=
易證△DGE≌△MDN，∴，
由△ADF∽△DMN，得，
又∵點(diǎn)F是線段AB中點(diǎn)，AB=AD，
∴，∴DM=2DN，即點(diǎn)M是CD的三等分點(diǎn).