Question

（2010•雙鴨山）Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2．以AC為一邊，在△ABC外部作等腰直角三角形ACD，則線段BD的長(zhǎng)為    ．

Answer 1

【答案】分析：分情況討論，①以A為直角頂點(diǎn)，向外作等腰直角三角形DAC；②以C為直角頂點(diǎn)，向外作等腰直角三角形ACD；③以AC為斜邊，向外作等腰直角三角形ADC．分別畫圖，并求出BD．
解答：解：①以A為直角頂點(diǎn)，向外作等腰直角三角形DAC，

∵∠DAC=90°，且AD=AC，
∴BD=BA+AD=2+2=4；
②以C為直角頂點(diǎn)，向外作等腰直角三角形ACD，

連接BD，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于E．
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACD=90°，
∴∠DCE=45°，
又∵DE⊥CE，
∴∠DEC=90°，
∴∠CDE=45°，
∴CE=DE=2×=，
在Rt△BAC中，BC==2，
∴BD===2；
③以AC為斜邊，向外作等腰直角三角形ADC，

∵∠ADC=90°，AD=DC，且AC=2，
∴AD=DC=ACsin45°=2×=，
又∵△ABC、△ADC是等腰直角三角形，
∴∠ACB=∠ACD=45°，
∴∠BCD=90°，
又∵在Rt△ABC中，BC==2，
∴BD===．
故BD的長(zhǎng)等于4或2或．
點(diǎn)評(píng)：分情況考慮問(wèn)題，主要利用了等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)．