Question

如圖①△A′B′C是將等腰直角三角形△ABC繞直角頂點C旋轉得到的，AB與CB′、A′B′分別交于F、E，AC與A′B′交于D．
（1）求證：CF=CD；
（2）如圖②，當旋轉多少度時，四邊形A′CBE是菱形？請證明你的結論．

Answer 1

（1）證明：∵△A′B′C是將等腰直角三角形△ABC繞直角頂點C旋轉得到的，
∴∠B=∠A=∠B′=∠A′=45°，BC=AC=A′C，∠BCB′=∠ACA′，
在△BCF和△A′CD中，
，
∴△BCF≌△A′CD，
∴CF=CD；

（2）當旋轉45°時，四邊形A′CBE是菱形．
證明：∵∠ACA′=45°，∠A′=45°，
∴∠A′DC=90°，∠A′CB=90°+45°=135°，
∵∠ACB=90°，∠B=45°，
∴∠A′DC=∠ACB，∠A′CB+∠B=180°，
∴A′E∥BC，BE∥A′C，
∴四邊形A′CBE是平行四邊形，
∵BC=A′C，
∴四邊形A′CBE是菱形．
分析：（1）由△A′B′C是將等腰直角三角形△ABC繞直角頂點C旋轉得到的，易證得△BCF≌△A′CD，則可得CF=CD；
（2）由∠ACA′=45°，∠A′=45°，易證得A′E∥BC，BE∥A′C，即可得四邊形A′CBE是平行四邊形，又由BC=A′C，即可判定四邊形A′CBE是菱形．
點評：此題考查了旋轉的性質、全等三角形的判定與性質以及菱形的判定．此題難度適中，注意掌握旋轉前后圖形的對應關系，注意數(shù)形結合思想的應用．