Question

若拋物線y=ax²+bx+3與y=-x²+3x+2的兩交點關(guān)于原點對稱，則ab=

 

．

Answer 1

分析：設(shè)兩交點坐標(biāo)為（x₁，y₁），（x₂，y₂），因為拋物線的交點和關(guān)于原點對稱，則x₁+x₂=0，y₁+y₂=0，構(gòu)造方程組即可得到（a+1）x²+（b-3）x+1=0，由x₁+x₂=0，求出b的值，再求出a的值，代入ab即可求出答案．

解答：解：由題可得：ax²+bx+3=-x²+3x+2，
（a+1）x²+（b-3）x+1=0．
∵兩交點關(guān)于原點對稱，那么兩個橫坐標(biāo)的值互為相反數(shù)；兩個縱坐標(biāo)的值也互為相反數(shù)．
則兩根之和為：-

b-3

a+1

=0，兩根之積為

1

a+1

＜0（關(guān)于原點對稱的點的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)分別互為相反數(shù)），
解得b=3，a＜-1．
設(shè)兩個交點坐標(biāo)為（x₁，y₁），（x₂，y₂）．
這兩個根都適合第二個函數(shù)解析式，
代入第二個函數(shù)解析式得：y₁=-x₁²+3x₁+2，y₂=-x₂²+3x₂+2
那么y₁+y₂=-（x₁²+x₂²）+3 （x₁+x₂）+4=0，
∵x₁+x₂=0，
∴y₁+y₂=-（x₁+x₂）²+2x₁x₂+4=0，
解得x₁x₂=-2，
代入兩根之積得

1

a+1

=-2，
解得a=-

3

2

，
故a=-

3

2

，b=3．
∴ab=3×（-

3

2

）=-

9

2

．
故答案為：-

9

2

．

點評：本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解二元一次方程組，根與系數(shù)的關(guān)系等知識點，解此題的關(guān)鍵是構(gòu)造方程組得到兩根之和和兩根之積，進(jìn)一步求出a、b的值．此題難度較大，綜合性強(qiáng)．