Question

如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形OABC的頂點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上．動(dòng)點(diǎn)D在線段BC上移動(dòng)（不與B，C重合），連接OD，過點(diǎn)D作DE⊥OD，交邊AB于點(diǎn)E，連接OE．
（1）當(dāng)CD=1時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（2）如果設(shè)CD=t，梯形COEB的面積為S，那么是否存在S的最大值？若存在，請(qǐng)求出這個(gè)最大值及此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）求點(diǎn)E的坐標(biāo)就是求AE的長(zhǎng)（E的橫坐標(biāo)就是正方形的邊長(zhǎng)），要先求出BE的長(zhǎng)，可根據(jù)相似三角形OCD和DBE得出關(guān)于OC，CD，BD，BE的比例關(guān)系式，然后根據(jù)正方形的邊長(zhǎng)和CD的長(zhǎng)，來求出BE的長(zhǎng)，也就求出AE的長(zhǎng)，那么就可得出E的坐標(biāo)．
（2）求梯形COEB的面積，關(guān)鍵是求BE的長(zhǎng)，方法同（1）只不過將CD=1換成了CD=t，求出BE的表達(dá)式后，那么可根據(jù)梯形的面積公式，即可得出關(guān)于S，t的二次函數(shù)式，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可得出函數(shù)的最大值即S的最大值以及對(duì)應(yīng)的t的值．
解答：解：（1）正方形OABC中，
∵ED⊥OD，即∠ODE=90°
∴∠CDO+∠EDB=90°，
即∠COD=90°-∠CDO，而∠EDB=90°-∠CDO，
∴∠COD=∠EDB
又∵∠OCD=∠DBE=90°
∴△CDO∽△BED，
∴，
即，
得BE=，
則：AE=4-
因此點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，）．

（2）存在S的最大值．
由△CDO∽△BED，
∴，
即，BE=t-t²，S=×4×（4+t-t²）=-（t-2）²+10．
故當(dāng)t=2時(shí)，S有最大值10．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)以及二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，根據(jù)相似三角形得出相關(guān)線段成比例來求線段的長(zhǎng)或表達(dá)式是解題的基本思路．