Question

（2009•門頭溝區(qū)一模）如圖1，在△ACB和△AED中，AC=BC，AE=DE，∠ACB=∠AED=90°，點E在AB上，F(xiàn)是線段BD的中點，連接CE、FE．
（1）請你探究線段CE與FE之間的數(shù)量關(guān)系（直接寫出結(jié)果，不需說明理由）；
（2）將圖1中的△AED繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，使△AED的一邊AE恰好與△ACB的邊AC在同一條直線上（如圖2），連接BD，取BD的中點F，問（1）中的結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；
（3）將圖1中的△AED繞點A順時針旋轉(zhuǎn)任意的角度（如圖3），連接BD，取BD的中點F，問（1）中的結(jié)論是否仍然成立，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接CF，直角△DEB中，EF是斜邊BD上的中線，因此EF=DF=BF，∠FEB=∠FBE，同理可得出CF=DF=BF，∠FCB=∠FBC，因此CF=EF，由于∠DFE=∠FEB+∠FBE=2∠FBE，同理∠DFC=2∠FBC，因此∠EFC=∠EFD+∠DFC=2（∠EBF+∠CBF）=90°，因此△EFC是等腰直角三角形，CF=EF；
（2）思路同（1）也要通過證明△EFC是等腰直角三角形來求解．連接CF，延長EF交CB于點G，先證△EFC是等腰三角形，可通過證明CF是斜邊上的中線來得出此結(jié)論，那么就要證明EF=FG，就需要證明△DEF和△FGB全等．這兩個三角形中，已知的條件有一組對頂角，DF=FB，只要再得出一組對應(yīng)角相等即可，我們發(fā)現(xiàn)DE∥BC，因此∠EDB=∠CBD，由此構(gòu)成了兩三角形全等的條件．EF=FG，那么也就能得出△CFE是個等腰三角形了，下面證明△CFE是個直角三角形．由上面的全等三角形可得出ED=BG=AD，又由AC=BC，因此CE=CG，∠CEF=45°，在等腰△CFE中，∠CEF=45°，那么這個三角形就是個等腰直角三角形，因此就能得出（1）中的結(jié)論了；
（3）思路同（2）通過證明△CFE來得出結(jié)論，通過全等三角形來證得CF=FE，取AD的中點M，連接EM，MF，取AB的中點N，連接FN、CN、CF．那么關(guān)鍵就是證明△MEF和△CFN全等，利用三角形的中位線和直角三角形斜邊上的中線，我們不難得出EM=PN=AD，EC=MF=AB，我們只要再證得兩對應(yīng)邊的夾角相等即可得出全等的結(jié)論．我們知道PN是△ABD的中位線，那么我們不難得出四邊形AMPN為平行四邊形，那么對角就相等，于是90°+∠CNF=90°+∠MEF，因此∠CNF=∠MEF，那么兩三角形就全等了．證明∠CFE是直角的過程與（1）完全相同．那么就能得出△CEF是個等腰直角三角形，于是得出的結(jié)論與（1）也相同．
解答：解：（1）如圖1，連接CF，線段CE與FE之間的數(shù)量關(guān)系是CE=FE；

（2）（1）中的結(jié)論仍然成立．
如圖2，連接CF，延長EF交CB于點G，
∵∠ACB=∠AED=90°，
∴DE∥BC，
∴∠EDF=∠GBF，
又∵∠EFD=∠GFB，DF=BF，
∴△EDF≌△GBF，
∴EF=GF，BG=DE=AE，
∵AC=BC，
∴CE=CG，
∴∠EFC=90°，CF=EF，
∴△CEF為等腰直角三角形，
∴∠CEF=45度，
∴CE=FE；

（3）（1）中的結(jié)論仍然成立．
如圖3，取AD的中點M，連接EM，MF，取AB的中點N，連接FN、CN、CF，
∵DF=BF，
∴FM∥AB，且FM=，
∵AE=DE，∠AED=90°，
∴AM=EM，∠AME=90°，
∵CA=CB，∠ACB=90°
∴，∠ANC=90°，
∴MF∥AN，F(xiàn)M=AN=CN，
∴四邊形MFNA為平行四邊形，
∴FN=AM=EM，∠AMF=∠FNA，
∴∠EMF=∠FNC，
∴△EMF≌△FNC，

∴FE=CF，∠EFM=∠FCN，
由MF∥AN，∠ANC=90°，可得∠CPF=90°，
∴∠FCN+∠PFC=90°，
∴∠EFM+∠PFC=90°，
∴∠EFC=90°，
∴△CEF為等腰直角三角形，
∴∠CEF=45°，
∴CE=FE．
點評：本題解題的關(guān)鍵是通過全等三角形來得出線段的相等，如果沒有全等三角形的要根據(jù)已知條件通過輔助線來構(gòu)建．