Question

如圖，△ABC是等邊三角形，BD是中線，P是直線BC上一點．
（1）若CP=CD，求證：△DBP是等腰三角形；
（2）在圖①中建立以△ABC的邊BC的中點為原點，BC所在直線為x軸，BC邊上的高所在直線為y軸的平面直角坐標(biāo)系，如圖②，已知等邊△ABC的邊長為2，AO=

3

，在x軸上是否存在除點P以外的點Q，使△BDQ是等腰三角形？如果存在，請求出Q點的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：根據(jù)已知及等邊三角形的性質(zhì)可求得BD=DP，即△DBP是等腰三角形；Q點的坐標(biāo)需分三種情況進(jìn)行分析，分別是若點Q在x軸負(fù)半軸上，若點Q在x軸上，若點Q在x軸正半軸上．

解答：證明：∵△ABC是等邊三角形
∴∠ABC=∠ACB=60°
∵BD是中線
∴∠DBC=30°
∵CP=CD
∴∠CPD=∠CDP
又∵∠ACB=60°
∴∠CPD=30°
∴∠CPD=∠DBC
∴DB=DP
即△DBP是等腰三角形；

（2）在x軸上存在除點P以外的點Q，使△BDQ是等腰三角形
①若點Q在x軸負(fù)半軸上，且BQ=BD
∵BD=

3

∴BQ=

3

∴OQ=

3

+1
∴點Q₁（-

3

-1，0）；

②若點Q在x軸上，且BQ=QD
∵∠QBD=∠QDB=30°
∴∠DQC=60°
又∠QCD=60°
∴QC=DC=1，而OC=1
∴OQ=0，
∴點Q₂（0，0）；

③若點Q在x軸正半軸上，且BQ=BD
∴BQ=

3

，而OB=1
∴OQ=

3

-1
∴點Q₃（

3

-1，0）．

點評：此題主要考查學(xué)生對等腰三角形的判定及等邊三角形的性質(zhì)的掌握情況；分情況討論是正確解答本題的關(guān)鍵．