Question

 如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，P是BC邊上一點，△PAD的面積為，設AB=x，AD=y

（1）求y與x的函數關系式；

（2）若∠APD=45°，當y=1時，求PB•PC的值；

（3）若∠APD=90°，求y的最小值．

Answer 1

（1）如圖1，過A作AE⊥BC于點E，在Rt△ABE中，∠B=45°，AB=x，

∴AE=AB•sinB=x，∵S_△APD=AD•AE=，

∴•y•x=， 則y=；

（2）∵∠APC=∠APD+∠CPD=∠B+∠BAP，∠APD=∠B=45°，

∴∠BAP=∠CPD，∵四邊形ABCD為等腰梯形，∴∠B=∠C，AB=CD，

∴△ABP∽△PCD，∴=，∴PB•PC=AB•DC=AB²，

當y=1時，x=，即AB=，則PB•PC=（）²=2；

（3）如圖2，取AD的中點F，連接PF，過P作PH⊥AD，可得PF≥PH，

當PF=PH時，PF有最小值，∵∠APD=90°，∴PF=AD=y，∴PH=y，

∵S_△APD=•AD•PH=，∴•y•y=，即y²=2，∵y＞0，∴y=，

則y的最小值為．