Question

已知：如圖：AD⊥BC于D，點(diǎn)E是邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，四邊形EFGH是矩形，其中點(diǎn)F，G在BC上，點(diǎn)H在AC上．
（1）若AD=BC，試探討矩形EFGH的周長(zhǎng)與高AD的數(shù)量關(guān)系；
（2）若矩形EFGH的面積是△ABC的面積的一半，求AE與AB的比值．

Answer 1

分析：（1）由矩形的性質(zhì)可得：EH∥BC，所以△AEH∽△ABC，利用相似三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)高之比等于相似比即可得到矩形EFGH的周長(zhǎng)與高AD的數(shù)量關(guān)系；
（2）根據(jù)矩形的面積公式和三角形的面積公式分別把矩形EFGH的面積和△ABC的面積，利用圖形中的線段表示出來，由（1）可知

AM

AD

=

EH

BC

，所以EH=

AM•BC

AD

，代入BC•AD=4EH•DM，進(jìn)一步整理得到關(guān)于AD和2AM的完全平方公式，問題得解．

解答：解（1）矩形EFGH的周長(zhǎng)=2AD．理由如下：
∵四邊形ABCD是矩形，
∴EH∥BC，
∴△AEH∽△ABC，
∵AD⊥BC于D，
∴

AM

AD

=

EH

BC

，
設(shè)AM=x，則DM=AD-x，
∴

x

AD

=

EH

BC

，
∵AD=BC，
∴EH=x，
∵EF=DM=AD-x，
∴矩形EFGH的周長(zhǎng)=2（EH+EF）=2（x+AD-x）=2AD，
∴矩形EFGH的周長(zhǎng)=2AD；

（2）∵S_△ABC=

1

2

BC•AD，S_矩形EFGH=EH•EF=EH•DM，
若矩形EFGH的面積是△ABC的面積的一半，
即

1

2

BC•AD=2EH•DM，
∴BC•AD=4EH•DM，
∵

AM

AD

=

EH

BC

，DM=AD-AM
∴EH=

AM•BC

AD

，
∴BC•AD=4

AM•BC

AD

•（AD-AM），
即AD²=4AM•AD-4AM²，
∴（AD-2AM）²=0，
∴AD=2AM，
∵EH∥BC，
∴

AE

AB

=

AM

AD

=

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)以及矩形的面積和三角形的面積公式的運(yùn)用，題目的設(shè)計(jì)很新穎，特別是第二問根據(jù)條件得到比例式，再進(jìn)一步整理得到完全平方公式是解題的突破口．