Question

如圖，銳角△ABC中，PQRS是△ABC的內(nèi)接矩形，且S_△ABC=nS_矩形PQRS，其中n為不小于3的自然數(shù)．求證：需為無理數(shù)．

Answer 1

證明：如圖，
設(shè)BC=a，BC邊上的高AD=h，PS=x，RS=y，由△ASR∽△ABC，得=，
∴y=•a，
∵S_△ABC=nS_梯形PQRS，即ah=nxy••a，整理得2nx²-2nxh+h²=0，
2n-2n•+1=0，∴=±，顯然n²-2n＜（n-1）²又n≥3，
∴n²-2n＞（n-2）²，故n²-2n不是完全平方數(shù)，為無理數(shù)，
從而為無理數(shù)，于是=為無理數(shù)．
分析：可由△ASR∽△ABC得出對應(yīng)邊成比例，再由三角形與梯形的面積比建立等式，即可得出結(jié)論．
點評：本題主要考查了相似三角形的判定及性質(zhì)以及一元二次方程的求解問題，能夠熟練掌握．