Question

如圖，一次函數(shù)y=-0.5x+2的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)P、Q分別從A、B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以相等的速度作直線運(yùn)動(dòng)．已知點(diǎn)P沿射線AO運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q沿線段OB的延長線運(yùn)動(dòng)，PQ與AB所在直線相交于點(diǎn)D．
（1）求線段AB的長度；
（2）當(dāng)AP=1時(shí)，點(diǎn)D是否平分線段AB？請(qǐng)說明理由；
（3）若AP=x，設(shè)△PBQ的面積為y，請(qǐng)寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量x的取值范圍；
（4）若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度為2，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，則t為何值時(shí)，△PAB為等腰三角形？

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）令y=0求出OA，令x=0求出OB，然后利用勾股定理列式計(jì)算即可得解；
（2）過點(diǎn)B作BE∥x軸交PQ于E，然后求出OP=OQ，判斷出△OPQ是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得BQ=BE，從而得到BE=AP，再利用“角角邊”證明△BED和△APD全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BD=AD；
（3）分0＜x＜4時(shí)，點(diǎn)P在OA上，表示出OP，然后利用三角形的面積公式列式整理即可；x≥4時(shí)，點(diǎn)P在x軸負(fù)半軸，表示出OP，再利用三角形的面積公式列式整理即可得解；
（4）分AP=PB時(shí)，表示出OP，再利用勾股定理列方程求解即可；AP=AB時(shí)，根據(jù)路程=速度×?xí)r間列出方程求解即可；AP=AB時(shí)，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AP=2OA，然后列方程求解即可．

解答：解：（1）令y=0，則-0.5x+2=0，
解得x=4，
所以，OA=4，
令x=0，則y=2，
所以，OB=2，
由勾股定理得，AB=

OA2+OB2

=

42+22

=2

5

；

（2）點(diǎn)D平分線段AB．
理由如下：過點(diǎn)B作BE∥x軸交PQ于E，
則∠EBD=∠PAD，
∵AP=1，
∴OP=4-1=3，OQ=2+1=3，
所以，OP=OQ，
所以，△OPQ是等腰直角三角形，
所以，BQ=BE，
所以，BE=AP，
在△BED和△APD中，

∠EBD=∠PAD ∠BDE=∠ADP BE=AP

，
∴△BED≌△APD（AAS），
∴BD=AD，
∴點(diǎn)D平分線段AB；

（3）當(dāng)0＜x＜4時(shí)，點(diǎn)P在OA上，OP=4-x，
y=

1

2

x（4-x）=-

1

2

x²+2x；
當(dāng)x≥4時(shí)，點(diǎn)P在x軸負(fù)半軸，OP=x-4，
y=

1

2

x（x-4）=

1

2

x²-2x；

（4）當(dāng)AP=PB=2t時(shí)，OP=4-2t，
在Rt△OBP中，由勾股定理得，（4-2t）²+2²=（2t）²，
解得t=1.25，
當(dāng)AP=AB時(shí)，2t=2

5

，
解得t=

5

，
當(dāng)AB=PB時(shí)，2t=8，
解得t=4，
綜上所述，t=1.25，

5

，4．

點(diǎn)評(píng)：本題是一次函數(shù)綜合題型，主要利用了一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)的求解，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，等腰三角形的性質(zhì)，難點(diǎn)在于（3）（4）分情況討論．