Question

如圖，直線分別與兩坐標(biāo)軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C從A點(diǎn)出發(fā)沿射線BA方向移動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長度．以C為頂點(diǎn)作等邊△CDE，其中點(diǎn)D和點(diǎn)E都在x軸上．半徑為的⊙M與x軸、直線AB相切于點(diǎn)G、F．

（1）直線AB與x軸所夾的角∠ABO＝    　    °；

（2）求當(dāng)點(diǎn)C移動(dòng)多少秒時(shí)，等邊△CDE的邊CE與⊙M相切？

 

Answer 1

【答案】

（1）30；（2）4或.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)直線解析式求出OA、OB的長度，再由∠ABO的正切值，可求出∠AOB的度數(shù)：直線AB的解析式為，令x=0，則y=1，令y=0，則，∵，∴∠ABO=30°；（2）設(shè)點(diǎn)C移動(dòng)t秒后與⊙M相切，分兩種情況討論，①當(dāng)CE在⊙M左側(cè)相切于點(diǎn)H；②當(dāng)CE在⊙M右側(cè)相切于點(diǎn)H，用含t的式子表示出CE，建立方程，解出即可得出答案.

試題解析：（1）30；

（2）設(shè)點(diǎn)C移動(dòng)t秒后與⊙M相切，

①當(dāng)CE在⊙M左側(cè)相切于點(diǎn)H，如圖（1），連接MF、MG、MH，

∵AB、CE、BO均為⊙M的切線，∴MF⊥AB，MH⊥CE，MG⊥BO.

∵∠ABO=30°，△CDE是等邊三角形，∴∠BCE=90°. ∴四邊形CHMF為矩形.

∵M(jìn)F=MH，∴四邊形CHMF為正方形. ∴CH=MH=.

∵EH、EG為⊙M的切線，∠CED=60°，∴∠HEM=60°. ∴.

∵，∴，解得t=4.

②當(dāng)CE在⊙M右側(cè)相切于點(diǎn)H（如圖（2）），

由①證得：CH=MH=.

∵∠HEM=30°，∴.

∴，解得，t=．

考點(diǎn)：1.圓的綜合題；2.動(dòng)點(diǎn)問題；3．銳角三角函數(shù)定義；4.特殊角的三角函數(shù)值；5.切線的性質(zhì)；6. 等邊三角形的性質(zhì)；7. 正方形的判定和性質(zhì)；8.分類思想的應(yīng)用.