Question

如圖，直線y=-3x-3與x軸、y軸分別相交于點A、C，經(jīng)過點C且對稱軸為x=1的拋物線y=ax²+bx+c與x軸相交于A、B兩點．
（1）試求點A、C的坐標；
（2）求拋物線的解析式；
（3）若點M在線段AB上以每秒1個單位長度的速度由點B向點A運動，同時，點N在線段OC上以相同的速度由點O向點C運動（當其中一點到達終點時，另一點也隨之停止運動），又PN∥x軸，交AC于P，問在運動過程中，線段PM的長度是否存在最小值？若有，試求出最小值；若無，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）根據(jù)直線解析式y(tǒng)=-3x-3，將y=0代入求出x的值，得到直線與x軸交點A的坐標，將x=0代入求出y的值，得到直線與y軸交點C的坐標；
（2）根據(jù)拋物線y=ax²+bx+c的對稱軸為x=1，且過點A（-1，0）、C（0，-3），列出方程組，解方程組即可求出拋物線的解析式；
（3）由對稱性得點B（3，0），設點M運動的時間為t秒（0≤t≤3），則M（3-t，0），N（0，-t），P（x_P，-t），先證明△CPN∽△CAO，根據(jù)相似三角形對應邊成比例列出比例式

PN

OA

=

CN

OC

，求出x_P=

t

3

-1．再過點P作PD⊥x軸于點D，則D（

t

3

-1，0），在△PDM中利用勾股定理得出PM²=MD²+PD²=（-

4t

3

+4）²+（-t）²=

1

9

（25t²-96t+144），利用二次函數(shù)的性質(zhì)可知當t=

48

25

時，PM²最小值為

144

25

，即在運動過程中，線段PM的長度存在最小值

12

5

．

解答：解：（1）∵y=-3x-3，
∴當y=0時，-3x-3=0，解得x=-1，
∴A（-1，0）；
∵當x=0時，y=-3，
∴C（0，-3）；

（2）∵拋物線y=ax²+bx+c的對稱軸為x=1，過點A（-1，0）、C（0，-3），
∴

- b 2a =1 a-b+c=0 c=-3

，解得

a=1 b=-2 c=-3

，
∴拋物線的解析式為y=x²-2x-3；

（3）由對稱性得點B（3，0），設點M運動的時間為t秒（0≤t≤3），則M（3-t，0），N（0，-t），P（x_P，-t）．
∵PN∥OA，
∴△CPN∽△CAO，
∴

PN

OA

=

CN

OC

，即

-xP

1

=

3-t

3

，
∴x_P=

t

3

-1．
過點P作PD⊥x軸于點D，則D（

t

3

-1，0），
∴MD=（3-t）-（

t

3

-1）=-

4t

3

+4，
∴PM²=MD²+PD²=（-

4t

3

+4）²+（-t）²=

1

9

（25t²-96t+144），
又∵-

-96

2×25

=

48

25

＜3，
∴當t=

48

25

時，PM²最小值為

144

25

，
故在運動過程中，線段PM的長度存在最小值

12

5

．

點評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，運用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，二次函數(shù)的性質(zhì)，綜合性較強，難度適中．運用數(shù)形結(jié)合、方程思想是解題的關鍵．